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美麗的數學王國門口有兩根壯碩的大柱子，其中一根為非線性的微積分，而另一根則為線性的線性代數。這兩根大柱子射出美麗的光芒，照耀了數學王國的代數、幾何、分析、物理、工程和經濟，這些光芒不僅提供了它們養分，還幫助它們成長。
數學有五要素：實數、歐式空間、函數、不等式和公理。實數和歐式空間為數學的身體，像電腦的硬體一樣，而函數、不等式和公理為數學的靈魂，像電腦的軟體一樣。電腦一定要有 硬體，但是有了硬體，還是不能動，尚需要軟體，才能運作，本書詳細介紹實數、歐式空間、函數、不等式和公理。
這本數學分析基礎，涵蓋非線性的微積分和線性的線性代數，還涵蓋微分方程，此書共計有1,164頁。書中含有目錄、索引、Index、圖像和各式各樣的題目，我們將完整的習題解答，錄成CD，附置於書後。
本書中除了詳細介紹一維微積分外，更詳細介紹二維和三維的多變數分析，因為二維和三維最為其體，且最有感覺。了解二維和三維分析，一方面可以檢驗一維分析，而另一方面則可以學習四維以上之高等微積分，建議先念本書，再念高等微積分。
本書對每一定理和重要概念，都指出其原由和應用。本書每一章還會介紹一節數學家有趣的生平，所謂蹲下來為的是要跳得更高，閱讀完該節後，相信讀者又可以體力充沛地繼續學習下面的章節了。
這一本數學分析基礎，是由著者在國立清華大學教了三十餘年的微積分講義補編而成，希望在臺灣能成為一本有意義的教科書和課外讀物。
數學有五要素：實數、歐式空間、函數、不等式和公理。實數和歐式空間為數學的身體，像電腦的硬體一樣，而函數、不等式和公理為數學的靈魂，像電腦的軟體一樣。電腦一定要有 硬體，但是有了硬體，還是不能動，尚需要軟體，才能運作，本書詳細介紹實數、歐式空間、函數、不等式和公理。
這本數學分析基礎，涵蓋非線性的微積分和線性的線性代數，還涵蓋微分方程，此書共計有1,164頁。書中含有目錄、索引、Index、圖像和各式各樣的題目，我們將完整的習題解答，錄成CD，附置於書後。
本書中除了詳細介紹一維微積分外，更詳細介紹二維和三維的多變數分析，因為二維和三維最為其體，且最有感覺。了解二維和三維分析，一方面可以檢驗一維分析，而另一方面則可以學習四維以上之高等微積分，建議先念本書，再念高等微積分。
本書對每一定理和重要概念，都指出其原由和應用。本書每一章還會介紹一節數學家有趣的生平，所謂蹲下來為的是要跳得更高，閱讀完該節後，相信讀者又可以體力充沛地繼續學習下面的章節了。
這一本數學分析基礎，是由著者在國立清華大學教了三十餘年的微積分講義補編而成，希望在臺灣能成為一本有意義的教科書和課外讀物。
目次
推薦序 李家同
作者序
1實數、函數和數列的定義、不等式和經典公理1
11實數1
12函數和數列的定義18
13不等式25
14經典公理30
15歷史上第一個大數學家畢達格拉斯38
16習題40
2函數的極限43
21函數的運算43
22函數極限的定義45
23函數極限的定理48
24右極限和左極限56
25函數極限存在和不存在的例子63
26蘇格拉底、柏拉圖和亞里士多德81
27習題84
3函數的連續87
31函數連續的定義87
32連續函數三大優異定理93
33連續函數六大經典定理97
34連續和不連續函數的例子105
35大數學家阿基米德113
36習題
ix115
4函數的導數119
41函數導數的概念119
42函數導數的定義120
43函數導數三大基本定理124
44均值定理130
45可微函數與其導函數之間彼此關係密切137
46可微和不可微函數的例子141
47數學家笛卡兒之網路故事151
48數學家笛卡兒152
49習題156
5導函數的應用161
51曲線的切線斜率、切線方程和法線方程161
52均值定理的應用163
53函數的增滅、極值、凹凸、反曲點和漸近線166
54畫函數的圖形185
55法國大數學家費馬188
56瑞士馬特洪峰191
57習題192
6函數的積分195
61可積函數198
62積分運算定理210
63積分均值定理222
64微積分基本定理224
65積分的應用—求面積和體積226
66數學家巴斯卡232
7初等函數237
71反函數定理238
72三角函數和反三角函數241
73對數函數253
74指數函數261
75雙曲函數和反雙曲函數266
76通世數學家牛頓273
77習題275
8積分法277
81分部積分法277
82變數變換積分法281
83部份分式積分法284
84三角函數積分法286
85三角函數替換積分法292
86數學大師歐伊勒295
87習題297
9數列301
91收斂數列定理301
92發散數列運算定理314
93上極限和下極限319
94一筆畫326
95習題327
10級數331
101收斂級數和發散級數331
102正項級數340
103廣義交錯級數348
104絕對收斂級數352
105數學王子高斯356
106習題359
11泰勒理論361
111泰勒定理的自來361
112泰勒定理363
113泰勒級數369
114馬克勞林級數370
115泰勒定理救人一命。379
116天才數學家歌洛怡380
117習題382
12數值方法383
121牛頓求根法385
122壓縮映射定理求定點法390
123n次逼近求函數值法393
124弦梯積分法395
125辛浦森積分法397
126千山獨行，壁創宇宙大業─愛因斯坦400
127習題404
13函數極限的推廣、不定型、瑕積分和Γ函數405
131函數極限的推廣405
132不定型407
133瑕積分414
134Γ函數428
135法國龐加萊和德國希爾伯特432
14函數列和函數級數437
141函數列437
142函數級數450
143數學家在哪裡思考數學？461
144習題463
15線性空間、線性變換與矩陣空間和歐氏空間467
151線性空間467
152線性變換空間與矩陣空間483
153歐氏空間504
154黃金比例數524
155習題526
16二變數純量函數的極限和連續529
161二變數純量函數的極限529
162二變數純量函數的連續538
163數學家陳省身555
164習題556
17向量函數的極限和連續557
171一變數向量函數的極限557
172一變數向量函數的連續562
173向量場的極限567
174向量場的連續570
175國際數學聯合會和國際數學家會議575
176習題580
18二變數純量函數的微導583
181全導數、方向導數、偏導數、梯度和微分583
182全導數鏈法則600
183均值定理601
184隱函數定理602
185高階偏導數和泰勒定理604
186極值和鞍點611
187拉格宏機乘子定理618
188鳥和青蛙621
189習題627
19向量函數的微導629
191單變數向量函數的微導629
192向量場的微導640
193美國普林斯頓大學。652
194習題654
20重積分655
201二重可積函數655
202二重積分運算定理669
203二重積分均值定理680
204微分與積分682
205有界集上的二重積分687
206三重積分687
207開發新領域693
208習題694
21重積分之計算與應用697
211二重積分之計算與應用697
212三重積分之計算與應用729
213數學的嚴謹與抽象737
22純量場和向量場的線積分與面積分741
221純量場、向量場、散度、旋度和梯度741
2222維純量場和向量場的線積分746
2233維純量場和向量場的線積分780
224純量場和向量場的面積分785
225多變數微積分基本定理803
226解決持久問題809
227習題810
23微分方程813
231初值微分方程和積分方程813
232一階微分方程815
233初值微分方程組和向量積分方程823
234二階微分方程825
235數學的力與美839
236習題841
索引842
Index861
作者序
1實數、函數和數列的定義、不等式和經典公理1
11實數1
12函數和數列的定義18
13不等式25
14經典公理30
15歷史上第一個大數學家畢達格拉斯38
16習題40
2函數的極限43
21函數的運算43
22函數極限的定義45
23函數極限的定理48
24右極限和左極限56
25函數極限存在和不存在的例子63
26蘇格拉底、柏拉圖和亞里士多德81
27習題84
3函數的連續87
31函數連續的定義87
32連續函數三大優異定理93
33連續函數六大經典定理97
34連續和不連續函數的例子105
35大數學家阿基米德113
36習題
ix115
4函數的導數119
41函數導數的概念119
42函數導數的定義120
43函數導數三大基本定理124
44均值定理130
45可微函數與其導函數之間彼此關係密切137
46可微和不可微函數的例子141
47數學家笛卡兒之網路故事151
48數學家笛卡兒152
49習題156
5導函數的應用161
51曲線的切線斜率、切線方程和法線方程161
52均值定理的應用163
53函數的增滅、極值、凹凸、反曲點和漸近線166
54畫函數的圖形185
55法國大數學家費馬188
56瑞士馬特洪峰191
57習題192
6函數的積分195
61可積函數198
62積分運算定理210
63積分均值定理222
64微積分基本定理224
65積分的應用—求面積和體積226
66數學家巴斯卡232
7初等函數237
71反函數定理238
72三角函數和反三角函數241
73對數函數253
74指數函數261
75雙曲函數和反雙曲函數266
76通世數學家牛頓273
77習題275
8積分法277
81分部積分法277
82變數變換積分法281
83部份分式積分法284
84三角函數積分法286
85三角函數替換積分法292
86數學大師歐伊勒295
87習題297
9數列301
91收斂數列定理301
92發散數列運算定理314
93上極限和下極限319
94一筆畫326
95習題327
10級數331
101收斂級數和發散級數331
102正項級數340
103廣義交錯級數348
104絕對收斂級數352
105數學王子高斯356
106習題359
11泰勒理論361
111泰勒定理的自來361
112泰勒定理363
113泰勒級數369
114馬克勞林級數370
115泰勒定理救人一命。379
116天才數學家歌洛怡380
117習題382
12數值方法383
121牛頓求根法385
122壓縮映射定理求定點法390
123n次逼近求函數值法393
124弦梯積分法395
125辛浦森積分法397
126千山獨行，壁創宇宙大業─愛因斯坦400
127習題404
13函數極限的推廣、不定型、瑕積分和Γ函數405
131函數極限的推廣405
132不定型407
133瑕積分414
134Γ函數428
135法國龐加萊和德國希爾伯特432
14函數列和函數級數437
141函數列437
142函數級數450
143數學家在哪裡思考數學？461
144習題463
15線性空間、線性變換與矩陣空間和歐氏空間467
151線性空間467
152線性變換空間與矩陣空間483
153歐氏空間504
154黃金比例數524
155習題526
16二變數純量函數的極限和連續529
161二變數純量函數的極限529
162二變數純量函數的連續538
163數學家陳省身555
164習題556
17向量函數的極限和連續557
171一變數向量函數的極限557
172一變數向量函數的連續562
173向量場的極限567
174向量場的連續570
175國際數學聯合會和國際數學家會議575
176習題580
18二變數純量函數的微導583
181全導數、方向導數、偏導數、梯度和微分583
182全導數鏈法則600
183均值定理601
184隱函數定理602
185高階偏導數和泰勒定理604
186極值和鞍點611
187拉格宏機乘子定理618
188鳥和青蛙621
189習題627
19向量函數的微導629
191單變數向量函數的微導629
192向量場的微導640
193美國普林斯頓大學。652
194習題654
20重積分655
201二重可積函數655
202二重積分運算定理669
203二重積分均值定理680
204微分與積分682
205有界集上的二重積分687
206三重積分687
207開發新領域693
208習題694
21重積分之計算與應用697
211二重積分之計算與應用697
212三重積分之計算與應用729
213數學的嚴謹與抽象737
22純量場和向量場的線積分與面積分741
221純量場、向量場、散度、旋度和梯度741
2222維純量場和向量場的線積分746
2233維純量場和向量場的線積分780
224純量場和向量場的面積分785
225多變數微積分基本定理803
226解決持久問題809
227習題810
23微分方程813
231初值微分方程和積分方程813
232一階微分方程815
233初值微分方程組和向量積分方程823
234二階微分方程825
235數學的力與美839
236習題841
索引842
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