數學分析(第一冊)（簡體書）

本書是綜合性大學和高等師範院校數學系本科生數學分析課程的教材。全書共分三冊。第一冊共六章，內容為函數、序列的極限、函數的極限與連續性、導數與微分、導數的應用、不定積分；第二冊共六章，內容為定積分、廣義積分、數項級數、函數序列與函數項級數、冪級數、傅里葉級數：第三冊共五章，內容為n維歐氏空間與多元函數的極限和連續、多元函數微分學、重積分與廣義重積分、曲線積分與曲面積分及場論、含參變量的積分。本書每章配有適量習題，書末附有習題答案或提示，供讀者參考。作者多年來在北京大學為本科生講授數學分析課程，按照教學大綱，精心選取教學內容并對課程體系優化整合，經過幾屆學生的教學實踐，收到了良好的教學效果。本書注重基礎知識的講述和基本能力的訓練，按照認知規律，以幾何直觀、物理背景作為引入數學概念的切入點，對內容講解簡明、透徹，做到重點突出、難點分散，便于學生理解與掌握。本書可作為高等院校數學院系、應用數學系本科生的教材，對青年教師本書也是一部很好的教學參考書。為了幫助讀者學習，本書配有學習輔導書《數學分析解題指南》供讀者參考。

伍勝健

北京大學數學科學學院教授、博士生導師。1992年在中國科學院數學研究所獲博士學位。主要研究方向是復分析。在北京大學長期講授數學分析、復變函數、復分析等課程。

自1995年以來，在姜伯駒院士的主持下，北京大學數學科學學院根據國際數學發展的要求和北京大學數學教育的實際，創造性地貫徹教育部“加強基礎，淡化專業，因材施教，分流培養”的辦學方針，全面發揮我院學科門類齊全和師資力量雄厚的綜合優勢，在培養模式的轉變、教學計劃的修訂、教學內容與方法的革新，以及教材建設等方面進行了全方位、大力度的改革，取得了顯著的成效。 2001年，北京大學數學科學學院的這項改革成果榮獲全國教學成果特等獎，在國內外產生很大反響。
在本科教育改革方面，我們按照加強基礎、淡化專業的要求，對教學各主要環節進行了調整，使數學科學學院的全體學生在數學分析、高等代數、幾何學、計算機等主乾基礎課程上，接受學時充分、強度足夠的嚴格訓練；在對學生分流培養階段，我們在課程內容上堅決貫徹“少而精”的原則，大力壓縮後續課程中多年逐步形成的過窄、過深和過繁的教學內容，為新的培養方向、實踐性教學環節，以及為培養學生的創新能力所進行的基礎科研訓練爭取到了必要的學時和空間。這樣既使學生打下寬廣、堅實的基礎，又充分照顧到每個人的不同特長、愛好和發展取向，與上述改革相適應，積極而慎重地進行教學計劃的修訂，適當壓縮常微、複變、偏微、實變、微分幾何、抽象代數、泛函分析等後續課程的周學時，並增加了數學模型和計算機的相關課程，使學生有更大的選課餘地。
在研究生教育中，在註重專題課程的同時，我們制定了30多門研究生普選基礎課程（其中數學系18門），重點拓寬學生的專業基礎和加強學生對數學整體發展及最新進展的了解。
教材建設是教學成果的一個重要體現，與修訂的教學計劃相配合，我們進行了有組織的教材建設。計劃自1999年起用8年的時間修訂、編寫和出版40餘種教材。這就是將陸續呈現在大家面前的《北京大學數學教學系列叢書》，這套叢書凝聚了我們近十年在人才培養方面的思考，記錄了我們教學實踐的足跡，體現了我們教學改革的成果，反映了我們對新世紀人才培養的理念，代表了我們新時期的數學教學水平。
經過20世紀的空前發展，數學的基本理論更加深入和完善，而計算機技術的發展使得數學的應用更加直接和廣泛，而且活躍於生產第一線，促進著技術和經濟的發展，所有這些都正在改變著人們對數學的傳統認識，同時也促使數學研究的方式發生巨大變化，作為整個科學技術基礎的數學，正突破傳統的範圍而向人類一切知識領域滲透。作為一種文化，數學科學已成為推動人類文明進化、知識創新的重要因素，將更深刻地改變著客觀現實的面貌和人們對世界的認識。數學素質已成為今天培養高層次創新人才的重要基礎。數學的理論和應用的巨大發展必然引起數學教育的深刻變革，我們現在的改革還是初步的，教學改革無禁區，但要十分穩重和積極；人才培養無止境，既要遵循基本規律，更要不斷創新，我們現在推出這套叢書，目的是向大家學習。讓我們大家攜起手來，為提高中國數學教育水平和建設世界一流數學強國而共同努力。

第一章 函數
1.1　實數
1.1.1　數集
1.1.2　實數系的連續性
1.1.3　有界集與確界
1.1.4　幾個常用不等式
1.1.5　常用記號
1.2　函數的概念
1.2.1　函數的定義
1.2.2 由已知函數構造新函數的方法
1.3　函數的性質
1.3.1　函數的有界性
1.3.2　函數的單調性
1.3.3　函數的周期性
1.3.4　函數的奇偶性
1.4　初等函數
　習題一
第二章　序列的極限
　2.1　序列極限的定義
2.1.1　序列
2.1.2　序列極限的定義
2.1.3　無窮小量
2.1.4　無窮大量
　2.2　序列極限的性質
　2.3　單調收斂原理
2.3.1　單調收斂原理
2.3.2　無理數e和歐拉常數c
　2.4　實數系連續性的基本定理
2.4.1　閉區間套定理
2.4.2　有限覆蓋定理
2.4.3　聚點原理
2.4.4　柯西收斂準則
　2.5　序列的上、下極限
　習題二
第三章 函數的極限與連續性
　3.1　函數的極限
3.1.1　函數極限的定義
3.1.2　函數極限的性質
3.1.3　函數極限概念的推廣
3.1.4　序列極限與函數極限的關係
3.1.5　極限存在性定理和兩個重要極限
　3.2　函數的連續與間斷
3.2.1　函數的連續與間斷
3.2.2　連續函數的性質
3.2.3　初等函數的連續性
　3.3　閉區間上連續函數的基本性質
　3.4　無窮小量與無窮大量的階
　習題三
第四章　導數與微分
4.1　導數
……
第五章　導數的應用
第六章　不定積分
部分習題答案與提示
名詞索引