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商品簡介
目次
商品簡介
孫志忠、袁慰平、聞震初合著的《數值分析》著重介紹適合于電子計算機上采用的數值計算方法及其理論，內容包括誤差分析、非線性方程求根、線性代數方程組數值解法、多項式插值與函數逼近、數值積分與數值微分、常微分方程數值解法、偏微分方程數值解法等。本書內容覆蓋了教育部工科研究生數學課程教學指導小組所制訂的工科碩士生數值分析課程教學基本要求，同時還增加了一些工科專業所需要的內容，如機器數系、有理函數插值、振蕩函數積分等。書中對各種計算方法的構造思想都作了較詳細的闡述，對穩定性、收斂性、誤差估計以及算法的優缺點等也作了適當的討論。本書還挑選了部分東南大學工科研究生結合各自專業自選課題的計算實習，以此作為本書各章的應用實例。 《數值分析》可作為各類工科專業研究生和數學系各專業本科生的教材或教學參考書，也可供從事科學與工程計算的科技工作者閱讀參考。
目次
1 緒論
1.1 數值分析的對象和特點
1.2 誤差的基本概念
1.2.1 誤差的來源
1.2.2 絕對誤差
1.2.3 相對誤差
1.2.4 有效數
1.2.5 數據誤差對函數值的影響
1.3 機器數系
1.3.1 機器數系
1.3.2 機器數系的運算及誤差估計
1.4 數值穩定問題
1.4.1 數值穩定性
1.4.2 良態問題與病態問題
1.4.3 簡化計算步驟，減少運算次數
習題1
2 非線性方程的解法
2.1 概述
2.1.1 根的搜索
2.1.2 二分法
2.2 簡單迭代法
2.2.1 迭代格式的構造
2.2.2 迭代法的收斂性
2.2.3 迭代法的收斂速度
2.2.4 Aitken加速法
2.3 Newton法
2.3.1 Newton迭代格式及其幾何意義
2.3.2 局部收斂
2.3.3 求重根的修正Newton法
2.3.4 大范圍收斂
2.3.5 Newton法的變形
2.4 多項式方程的求根
2.4.1 實系數多項式零點的分布
2.4.2 劈因子法
2.5 應用實例：薄殼結構的靜力計算
2.5.1 問題的背景
2.5.2 數學模型
2.5.3 計算方法與結果分析
習題2
3 線性代數方程組數值解法
3.1 引言
3.2 消去法
3.2.1 三角方程組的解法
3.2.2 Gauss消去法
3.2.3 追趕法
3.2.4 列主元Gauss消去法
3.3 矩陣的直接分解法
3.3.1 矩陣的直接分解法
3.3.2 對稱矩陣的直接分解法
3.3.3 列主元的三角分解法
3.4 方程組的性態與誤差分析
3.4.1 向量范數
3.4.2 矩陣范數
3.4.3 方程組的性態及條件數
3.4.4 方程組近似解可靠性的判別
3.5 迭代法
3.5.1 迭代格式的一般形式
3.5.2 幾個常用的迭代格式
3.5.3 迭代格式的收斂性
3.6 冪法及反冪法
3.6.1 求主特徵值的冪法
3.6.2 反冪法
3.7 應用實例：純電阻型立體電路分析
3.7.1 問題的背景
3.7.2 數學模型
3.7.3 計算方法與結果分析
習題3
4 多項式插值與函數最佳逼近
4.1 Lagrange插值
4.1.1 基本插值多項式
4.1.2 Lagrange插值多項式
4.1.3 插值余項
4.2 差商、差分和Newton插值
4.2.1 差商及Newton插值多項式
4.2.2 差分及等距節點Newton插值多項式
4.3 Herrnite插值
4.4 高次插值的缺點及分段插值
4.4.1 高次插值的誤差分析
4.4.2 分段線性插值
4.4.3 分段Hermite插值
4.5 3次樣條插值
4.5.1 3次樣條插值函數
4.5.2 3次樣條插值函數的求法
4.5.3 3次樣條插值函數的收斂性
4.6 有理函數插值
4. 7最佳一致逼近
4.7.1 線性賦范空間
4.7.2 最佳一致逼近多項式
4.7.3 Chebyshev多項式
4.7.4 近似最佳一致逼近多項式
4.8 最佳平方逼近
4.8.1 內積空間
4.8.2 最佳平方逼近
4.8.3 連續函數的最佳平方逼近
4.8.4 超定線性方程組的最小二乘解
4.8.5 離散數據的最佳平方逼近
4.9 應用實例：用樣條函數設計公路平面曲線
4.9.1 問題的背景
4.9.2 數學模型
4.9.3 計算方法與結果分析
習題4
5 數值積分與數值微分
5.1 數值積分的基本概念
5.2 插值型求積公式
5.2.1 插值型求積公式
5.2.2 代數精度
5.2.3 梯形公式、Simpson公式和Cotes公式的截斷誤差
5.2.4 求積公式的穩定性
5.3 復化求積公式
5.3.1 復化梯形公式
5.3.2 復化Simpson公式
5.3.3 復化Cotes公式
5.3.4 復化求積公式的階
5.4 Romberg求積法
5.4.1 Romberg求積公式
5.4.2 Romberg求積法的一般公式
5.5 Gauss求積公式
5.5.1 Gauss求積公式
5.5.2 正交多項式
5.5.3 區間[—1，1]上的GaUSS公式
5.5.4 區間[a，b]上的GaUSS公式
5.5.5 Gauss公式的截斷誤差
5.5.6 Gauss公式的穩定性和收斂性
5.5.7 帶權積分
5.6 振蕩函數的積分
5.7 重積分的近似計算
5.8 數值微分
5.8.1 數值微分問題的提出
5.8.2 插值型求導公式
5.8.3 樣條求導
5.9 應用實例：混頻器中變頻損耗的數值計算
5.9.1 問題的背景
5.9.2 數學模型
5.9.3 計算方法與結果分析
習題5
6 常微分方程數值解法
6.1 微分方程數值解法概述
6.1.1 問題及基本假設
6.1.2 離散化方法
6.2 Euler方法
6.2.1 Euder公式
6.2.2 后退Euler公式
6.2.3 梯形公式
6.2.4 預測校正系統與改進Euler公式
6.2.5 整體截斷誤差
6.3 Runge—Kutta方法
6.3.1 Runge—Kutta方法的基本思想
6.3.2 2階Runge—Kutta公式
6.3.3 高階Runge—Kutta公式
6.3.4 隱式Runge—Kutta公式
6.4 單步方法的收斂性和穩定性
6.4.1 單步方法的收斂性
6.4.2 單步方法的穩定性
6.4.3 單步方法的自適應算法
6.4.4 單步方法的加速
6.5 線性多步法
6.5.1 基於數值積分的構造方法
6.5.1.1 Adams顯式公式
6.5.1.2 Adams隱式公式
6.5.1.3 Adams預測校正方法
6.5.1.4 Adams公式的加速
6.5.2 基於Taylor展開的待定系數方法
6.5.3 多步法的收斂性和穩定性
6.5.4 絕對穩定性和絕對穩定域
6.6 1階微分方程組與高階微分方程
6.6.1 1階微分方程組
6.6.2 高階微分方程
6.6.3 剛性問題
6.7 邊值問題的數值解法
6.7.1 試射法
6.7.2 差分法
6.8 應用實例：磁流體發電通道的數值計算
6.8.1 問題的背景
6.8.2 數學模型
6.8.3 計算方法與結果分析
習題6
7 偏微分方程數值解法
7.1 拋物型方程的差分解法
7.1.1 網格剖分
7.1.2 古典顯格式
7.1.3 古典隱格式
7.1.4 Crank—Nicolson格式
7.1.5 Richardson格式
7.2 差分格式的穩定性和收斂性
7.2.1 差分格式的穩定性
7.2.2 差分格式的收斂性
7.3 雙曲型方程的差分解法
7.3.1 顯格式
7.3.2 隱格式
7.4 橢圓型方程的差分解法
7.4.1 差分格式的建立
7.4.2 差分格式解的存在唯一性及其收斂性
7.5 應用實例：水污染方程的有限差分解法
7.5.1 問題的背景
7.5.2 數學模型
7.5.3 計算方法與結果分析
習題7
習題參考答案
參考文獻
1.1 數值分析的對象和特點
1.2 誤差的基本概念
1.2.1 誤差的來源
1.2.2 絕對誤差
1.2.3 相對誤差
1.2.4 有效數
1.2.5 數據誤差對函數值的影響
1.3 機器數系
1.3.1 機器數系
1.3.2 機器數系的運算及誤差估計
1.4 數值穩定問題
1.4.1 數值穩定性
1.4.2 良態問題與病態問題
1.4.3 簡化計算步驟，減少運算次數
習題1
2 非線性方程的解法
2.1 概述
2.1.1 根的搜索
2.1.2 二分法
2.2 簡單迭代法
2.2.1 迭代格式的構造
2.2.2 迭代法的收斂性
2.2.3 迭代法的收斂速度
2.2.4 Aitken加速法
2.3 Newton法
2.3.1 Newton迭代格式及其幾何意義
2.3.2 局部收斂
2.3.3 求重根的修正Newton法
2.3.4 大范圍收斂
2.3.5 Newton法的變形
2.4 多項式方程的求根
2.4.1 實系數多項式零點的分布
2.4.2 劈因子法
2.5 應用實例：薄殼結構的靜力計算
2.5.1 問題的背景
2.5.2 數學模型
2.5.3 計算方法與結果分析
習題2
3 線性代數方程組數值解法
3.1 引言
3.2 消去法
3.2.1 三角方程組的解法
3.2.2 Gauss消去法
3.2.3 追趕法
3.2.4 列主元Gauss消去法
3.3 矩陣的直接分解法
3.3.1 矩陣的直接分解法
3.3.2 對稱矩陣的直接分解法
3.3.3 列主元的三角分解法
3.4 方程組的性態與誤差分析
3.4.1 向量范數
3.4.2 矩陣范數
3.4.3 方程組的性態及條件數
3.4.4 方程組近似解可靠性的判別
3.5 迭代法
3.5.1 迭代格式的一般形式
3.5.2 幾個常用的迭代格式
3.5.3 迭代格式的收斂性
3.6 冪法及反冪法
3.6.1 求主特徵值的冪法
3.6.2 反冪法
3.7 應用實例：純電阻型立體電路分析
3.7.1 問題的背景
3.7.2 數學模型
3.7.3 計算方法與結果分析
習題3
4 多項式插值與函數最佳逼近
4.1 Lagrange插值
4.1.1 基本插值多項式
4.1.2 Lagrange插值多項式
4.1.3 插值余項
4.2 差商、差分和Newton插值
4.2.1 差商及Newton插值多項式
4.2.2 差分及等距節點Newton插值多項式
4.3 Herrnite插值
4.4 高次插值的缺點及分段插值
4.4.1 高次插值的誤差分析
4.4.2 分段線性插值
4.4.3 分段Hermite插值
4.5 3次樣條插值
4.5.1 3次樣條插值函數
4.5.2 3次樣條插值函數的求法
4.5.3 3次樣條插值函數的收斂性
4.6 有理函數插值
4. 7最佳一致逼近
4.7.1 線性賦范空間
4.7.2 最佳一致逼近多項式
4.7.3 Chebyshev多項式
4.7.4 近似最佳一致逼近多項式
4.8 最佳平方逼近
4.8.1 內積空間
4.8.2 最佳平方逼近
4.8.3 連續函數的最佳平方逼近
4.8.4 超定線性方程組的最小二乘解
4.8.5 離散數據的最佳平方逼近
4.9 應用實例：用樣條函數設計公路平面曲線
4.9.1 問題的背景
4.9.2 數學模型
4.9.3 計算方法與結果分析
習題4
5 數值積分與數值微分
5.1 數值積分的基本概念
5.2 插值型求積公式
5.2.1 插值型求積公式
5.2.2 代數精度
5.2.3 梯形公式、Simpson公式和Cotes公式的截斷誤差
5.2.4 求積公式的穩定性
5.3 復化求積公式
5.3.1 復化梯形公式
5.3.2 復化Simpson公式
5.3.3 復化Cotes公式
5.3.4 復化求積公式的階
5.4 Romberg求積法
5.4.1 Romberg求積公式
5.4.2 Romberg求積法的一般公式
5.5 Gauss求積公式
5.5.1 Gauss求積公式
5.5.2 正交多項式
5.5.3 區間[—1，1]上的GaUSS公式
5.5.4 區間[a，b]上的GaUSS公式
5.5.5 Gauss公式的截斷誤差
5.5.6 Gauss公式的穩定性和收斂性
5.5.7 帶權積分
5.6 振蕩函數的積分
5.7 重積分的近似計算
5.8 數值微分
5.8.1 數值微分問題的提出
5.8.2 插值型求導公式
5.8.3 樣條求導
5.9 應用實例：混頻器中變頻損耗的數值計算
5.9.1 問題的背景
5.9.2 數學模型
5.9.3 計算方法與結果分析
習題5
6 常微分方程數值解法
6.1 微分方程數值解法概述
6.1.1 問題及基本假設
6.1.2 離散化方法
6.2 Euler方法
6.2.1 Euder公式
6.2.2 后退Euler公式
6.2.3 梯形公式
6.2.4 預測校正系統與改進Euler公式
6.2.5 整體截斷誤差
6.3 Runge—Kutta方法
6.3.1 Runge—Kutta方法的基本思想
6.3.2 2階Runge—Kutta公式
6.3.3 高階Runge—Kutta公式
6.3.4 隱式Runge—Kutta公式
6.4 單步方法的收斂性和穩定性
6.4.1 單步方法的收斂性
6.4.2 單步方法的穩定性
6.4.3 單步方法的自適應算法
6.4.4 單步方法的加速
6.5 線性多步法
6.5.1 基於數值積分的構造方法
6.5.1.1 Adams顯式公式
6.5.1.2 Adams隱式公式
6.5.1.3 Adams預測校正方法
6.5.1.4 Adams公式的加速
6.5.2 基於Taylor展開的待定系數方法
6.5.3 多步法的收斂性和穩定性
6.5.4 絕對穩定性和絕對穩定域
6.6 1階微分方程組與高階微分方程
6.6.1 1階微分方程組
6.6.2 高階微分方程
6.6.3 剛性問題
6.7 邊值問題的數值解法
6.7.1 試射法
6.7.2 差分法
6.8 應用實例：磁流體發電通道的數值計算
6.8.1 問題的背景
6.8.2 數學模型
6.8.3 計算方法與結果分析
習題6
7 偏微分方程數值解法
7.1 拋物型方程的差分解法
7.1.1 網格剖分
7.1.2 古典顯格式
7.1.3 古典隱格式
7.1.4 Crank—Nicolson格式
7.1.5 Richardson格式
7.2 差分格式的穩定性和收斂性
7.2.1 差分格式的穩定性
7.2.2 差分格式的收斂性
7.3 雙曲型方程的差分解法
7.3.1 顯格式
7.3.2 隱格式
7.4 橢圓型方程的差分解法
7.4.1 差分格式的建立
7.4.2 差分格式解的存在唯一性及其收斂性
7.5 應用實例：水污染方程的有限差分解法
7.5.1 問題的背景
7.5.2 數學模型
7.5.3 計算方法與結果分析
習題7
習題參考答案
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