1, 2, 3和＋－×÷的數學旅行：數字的命名、運算的誕生、原理的發展，25段抽絲剝繭的數學探索

◆臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生老師 專文導讀
◆《微積分之旅》（A Tour of the Calculus）暢銷作家伯林斯基又一力作
◆《紐約時報》暢銷書《醉漢走路》（The Drunkard' s Walk）作者曼羅迪諾 （Leonard Mlodinow）強力推薦――給讀者和求知若渴者的禮物！

1, 2, 3 ……數字如何命名出來的？＋－×÷ ……四則運算怎麼誕生的？
數的創造，便是事物的創造！

數字形成我們的宇宙的基礎，而我們多數人從未真正了解它的意義。
我們將數字視為理所當然，毫不質疑地做著加減乘除的運算，彷彿數學與生俱來就是如此運作。
研究數學，耐心是必備條件，樂趣卻不會那麼快出現。
小數點似乎會遊走，負數變成正數，分數還會突然上下倒轉過來。
沒有人非常喜歡這門學科，但它擁有令人著迷的力量。
數學大師最嚴謹的推理、最深刻的哲思，揭示美麗的數學原理背後精采絕倫的故事！

◎深入最基本的概念，一窺數學誕生的奧祕

數學家向來設想數學就像一個城市，城市天際線矗立著三座雄偉的高塔。這三座雄偉的建物分別致力於「幾何」、「分析」和「代數」，探究的對象各是空間、時間及符號和結構。本書訴說的正是這個數學城市的故事，主人翁是自然數、0、負數和分數。
文筆如詩的數學家伯林斯基在這部最新力作中，選擇了最基礎的問題：數字是什麼？加減乘除究竟是怎麼運作的？幾何和邏輯又是什麼？伯林斯基致力發掘看似單純的問題下的數學之美和複雜性，以淺顯的方式說明這些多變又難以掌握的概念。
本書帶領我們深入最基本的數學世界，揭露隱藏的奧妙。書中呈現許多歷史軼事，旁及各時代最著名的數學家，引領讀者一窺數學誕生的奧祕，刻畫為數學帶來獻禮的人物，並探索數學對我們為何如此重要。

◎數學家的25個禮物，尋找最簡單的數學之美

1. 一隻羊、兩隻羊、三隻羊……自然數的創造與數羊有什麼關係？
2. 數字與它們的名字是不同的概念……連數學家也常弄錯這件事？！
3. 數是萬物的最根本？……誰說的？為什麼？
4. 你根本不知道你以為自己知道的事……數學可以為我們確定任何事嗎？
5. 邏輯比數學更冷酷……阿伯拉與哀綠綺思的愛情為我們上了數學課？
6. 公理系統如同哥德式大教堂……數學家也會說「不怕一萬，只怕萬一」？
7. 小的數、大的數、不受拘束的數……打倒歐幾里得！
8. 加法有奇特的情感吸引力……十字記號在數學中究竟有什麼特殊意義？

9. 我來了、我看見、我征服……凱撒的這句名言竟為我們說明了加法的定義？
10. 指數恆等式可以推進科學革命……它前所未聞的強大力量從何而來？
11. 數字是怎麼命名的？……原來我們小時候就學過「自然數大字典」？
12. 函數是一種信仰……阿拉伯的勞倫斯為什麼因為數學被當成瘋子？
13. 19世紀初劍橋或牛津什麼都不好……最偉大的英國數學家？沒有！
14. 如果發現算術定律的數學家也是律師……五位實力堅強的選手上陣！
15. 數有太多而我們的時間太少……歸納法說來簡單卻理解難！
16. 在枯燥的細節中體會隱含的熱情……數學音樂劇的悲劇女主角是誰？

17. 真相惡名昭彰且不容懷疑……加法結合律的證明一樣如此理所當然嗎？
18. 0的另一邊給人朝黑暗沉淪的寒顫感……負數為什麼讓人覺得不舒服？
19. 沒有減法就沒有對稱……減法如何展現驚人的力量？
20. 算術的記號是缺乏意義還是有無數可能的詮釋……數學家會提出解答嗎？
21. 一樁訴訟案解釋了數學的抽象概念……法律如何讓我們更了解數學？
22. 負數乘負數是正數……那些通常嚴格的公理究竟如何操縱神奇的力量？
23. 萊茵德紙草書記錄方程式的語言形式……數學家為何對方程式著迷不已？
24. 分數沒有極限而分割也沒有終結……麵包也可以讓我們學數學？！
25. 沒有其他東西需要證明了……數學書的結尾就像推理小說？

大衛•伯林斯基（David Berlinski）

哥倫比亞大學學士，普林斯頓大學博士。著名數學家，暢銷作家，也是深具影響力的思想家。曾在美國和法國多所大學教授數學與哲學。
著作甚豐，包括《微積分之旅》（A Tour of the Calculus）、《牛頓的禮物》（Newton's Gift）、《演算法的誕生》（The Advent of the Algorithm）、《微分拓樸學的起源》（The Rise of Differential Topology）等書。現居巴黎。
 
譯者簡介

甘錫安

學業結束後由科學界踏入「譯文界」，現為專職譯者。曾擔任Discovery頻道與資訊雜誌編譯，現仍定期為《科學人》及《BBC知識》等雜誌翻譯。書籍譯作包括《愛因斯坦1905》、《攝影師之心》、《圖解達文西機器人》、《樂觀是一種選擇》等。

目前住在有山有海有美食的台灣頭基隆，熱愛吸收各類知識，正努力朝「全方位譯人」的目標邁進。最大的心願是知識普及、人人快樂。

「伯林斯基在本書中探討了數學的『共通物』：自然數、0、負數和分數……對範疇廣泛的概念進行絲絲入扣的探索，讓這部作品精采生動。」
――《圖書館學期刊》（Library Journal）

「一位數學家的精心傑作，以求知若渴和邏輯的心智……來釐清數學主要分支之一的基礎和美。」
――《科克斯書評》（Kirkus Book Reviews）

「伯林斯基以廣博的文化涵養和豐富的幽默感，檢視了數學的一些基本概念……一場閱讀饗宴！」
――賈汀（Gregory Chaitin），《超數學的世界》（Meta Math!）作者

「伯林斯基以機敏又富哲思的筆法，符號與歷史的交鋒，展現簡單算術的內在靈魂。」
――戴維斯（Philip J. Davis），布朗大學應用數學系榮譽教授

推薦《1, 2, 3和＋－×÷的數學旅行》 
洪萬生

就數學普及書寫而言，本書主題近於大學數學系的傳統課程「數學基礎」（foundations of mathematics），是相當罕見且具膽識的選擇。顧名思義，數學基礎探討最基本的數學知識（如自然數概念等）的本質，尤其為什麼它具有確定性（certainty）。這或許可以解釋何以作者提出他所謂的「超基礎數學」（absolutely elementary mathematics）。

由於本書說理與敘事兼備，儘管前者是重頭戲，不過，有時候為了讓讀者暫時擺脫邏輯的必然性「壓力」，作者會在適當時機提供敘事（narrative）。因此，除了在相關脈絡中引進數學家的故事或文學性作品之外，作者也運用了許多比喻（metaphor），讓讀者對於他的說理有了更溫潤的理解可能。

一般來說，具有數學洞察力與寫作才華的數學家書寫普及作品時，都很喜歡針對數學世界進行比喻，以便強化他們的敘事與說明。他們除了模仿啟蒙運動思想家將數學知識比喻成一棵大樹之外，像史都華（Ian Steward）就將數學比喻成為一座風景區，如此一來，他就可以搖身一變為風景區的導覽志工。至於本書作者則「設想數學就像一個城市，城市天際線矗立著三座雄偉的高塔。這三座雄偉的建物分別致力於『幾何』、『分析』和『代數』，探究的對象各是空間、時間及符號和結構」。在這樣的藍圖中，作者希望他所陪伴的主人翁自然數、0、負數和分數，可以為我們訴說這座數學城市的故事。

不過，本書最精采的比喻，則是在第21堂課中，將環（ring）的三重抽象概念類比到法律上的契約的三種內涵。對比威利斯頓（Williston）的《契約》（Contracts），作者指出：在數學這一邊，首先的要求是數學家（以及讀者）願意接受任何公理集合所強制的壓縮；其次，數學家（以及讀者）願意把眼光放遠，不只局限在那些一開始會慫恿我們接受公理的主題身上；最後，願意在公理系統中找出完全由公理創造的事物。

而在法律這一邊，則威利斯頓注意到「法律將履行契約視為義務」；其次，法官或陪審團著手了解某些雙邊協議中有足以使協議變成契約的承諾屬性；最後，願意了解契約法所說的契約是什麼。由於數學知識的確定性來自邏輯的「必然性」，因此，作者顯然企圖呼應契約中的某種法律「強制性」。

基於此一數學 vs. 法學之比喻，我們很容易可以猜測本書在數學論證方面的講究。現在，讓我簡介本書內容，或許讀者可以據以體會作者的用心。

本書共有二十五堂課，其中第5、13、16課分別以整課的篇幅，介紹三位數學家（阿伯拉、迪摩根和索菲雅．卡巴列夫斯基）的故事，其餘二十二課內容，就圍繞在自然數、0、負數與分數之概念及其運算所產生的抽象數學結構上。第1-3課主題是自然數與0的命名及位置記數法，其中並提及如何利用集合來定義自然數。在第4課中，作者介紹邏輯學中有關推論形式之意義，特別是與自然數的連結。第6-7課主題是公理系統與皮亞諾公理（Peano’s Axiom）。

第8-9課主要解釋加法的定義。第10課主題是乘法的定義，而進一步延伸的，是第11課的基底以及位置記數法。第12課主題是遞迴定理（recursion theorem），其中作者也特別說明它與相關定義法（method of definition）之連結。在第14課中，作者介紹五個算術定律：結合律、交換律、（乘法對加法的）分配律、三一律以及消去律，並且預示運算決定了數系結構之事實。在第15課中，作者說明數學歸納法原理（principle of mathematical induction）與良序原理（well-ordering principle）之關聯。

限於篇幅，我上述這些流水帳式的簡介，看來相當「枯燥乏味」，儘管原書中還是有許多頗為精巧的論證。無論如何，作者顯然覺得此時必須來個「中場休息」，這應該是他在第16課介紹偉大女數學家索菲雅．卡巴列夫斯基（Sofya Kovalevsky）的故事，「不妨體會一下它們隱含的熱情，以及它們引發的戲劇性事件」。

在第17課中，作者演示數學歸納法，以證明加法的結合律。第18課介紹0與負數，其中罕見地提及負數在複式簿記制度中相當好用。第19課主題是整數系。在第20課中，作者引述新代數做為一種符號的科學（science of signs），以及偉大（女）數學家諾特（Emmy Nöther）對現代抽象代數的偉大貢獻。由於諾特的貢獻之一是環（ring），因此，作者緊接著在第21課中，介紹此一抽象代數之結構。然後，在此一關聯中，作者在下一章（第22章）提供「負負得正」之證明。在第23課中，作者從《萊茵德紙草書》談到方程式求解，最終目的是討論多項式（可構成一個環）的角色。第24課主題是除法與分數，並進一步討論分數與小數的表徵形式。

第25課的主題是數體（number field），作者引進這些抽象結構，完全基於它們的圓滿自足：「體的定義……本身只告訴我們，數學和『超基礎數學』需要人類心智投注所有力量，創造抽象概念，並且相信這些概念」。最後，在結語中，作者引用《蘇丹在後宮》這一幅畫，來強調數學的本質是關乎「自然生成與人為創造的兩種事物，滿足地彼此共存」。

就訴求目標讀者來說，本書可以跟《社會組也學得好的數學十堂課》（杰瑞．金著，商周出版，2010）做一個對比。後者顯然針對非科學主修大學生的數學通識課程。作者杰瑞．金（Jerry King）使用了數學 vs. 詩篇的類比，強調即使是人文社會科學主修的學生，也可以學好數學。如果一般人可以被詩篇所感動，那麼，他們又何嘗無緣參與數學知識活動呢？杰瑞．金認為基本的邏輯推理訓練、集合論、從自然數經整數、有理數、實數到複數的數系發展、數論、函數（含解析幾何）、機率論以及微積分等等，都是不可或缺的主題。同時，他又高度重視數學知識的結構面向，譬如從自然數系到微積分的縱深統整論述，就明確地演示數學的意義與價值不僅在於它的廣泛應用，而且也關乎它自身的真與美。

相對而言，本書也極端重視論證，不過，作者在求「真」方面顯得更加堅持，為此，他認為應該深入公理系統的設置底層，探索比如算術加法與乘法的結合律（associative law）與遞迴（recursion）的本質關係。另一方面，他的「求真」也相當「純粹」，比如當他運用一列骨牌比喻數學歸納法：「若（if）第一張骨牌倒下，且若（if）推倒任一張骨牌即可再（then）推倒下一張，則（then）所有骨牌必定倒下。」

緊接著，他表達了「以物理方式類比數學運算時的必然限制」：「我經常想著，這個說法（按即骨牌比喻）在物理學上是否成立。動量在任一骨牌長龍中傳遞，而這意味著骨牌可能會持續倒下；但動量在任一骨牌長龍中同樣必會衰滅，而這意味著骨牌長龍延伸到外太空時，它呈現的波浪會逐漸減慢，最終會停頓下來，直到還有很多很多張骨牌直立著。」還有，基於這種比喻，本書內容幾乎不涉及數學應用例證，一點都不令人感到意外。

上述有關本書這些風貌，都可以解釋作者的敘事手法。由於本書強調數學基礎之論證，因此，在考量到讀者的耐心時，他隨時地「岔入」數學或數學家的故事。在本書中，作者所介紹的數學家（從古代到20世紀中期）就將近二十位之多，而且大都簡述他（她）們的故事傳奇。此外，他也經常引述一些文學作品，以便「淡定」陷入基礎深淵的數學熱情。

總之，這是一本相當另類的數學普及小品。一般讀者初次接觸本書不免覺得論證「超量」，但平心而論，讀者若懷抱一點點耐心，順著這些材料讀下去，也並非難以理解。數學知識中有許多基本但極為深刻的內容，譬如自然數如何定義？中學階段所學習的數學歸納法有何意義？所謂的遞迴定理與我們所理解的數學基本概念又有何關聯？還有，數學運算如何決定結構？等等，都在本書中有了簡易可及的切入點。

無論如何，本書的訴求呼應了通識教育中非常古典的心智訓練，讀者若有機會隨性地讀個幾章（順序無妨），一定可以變得比較博雅才是。至於中小學數學教師呢，本書至少可以提醒：那五個算術定律為何那麼重要了。

最後，我們必須指出本書的一些謬誤與商榷，供讀者參考。
有關基數（cardinal number）問題。頁22提及「沒有自然數，我們無法計數，也就無法回答『有多少？』這個問題」。這一句論斷值得商榷，因為在「數不過三」（亦即：只能數一、二、很多很多）的民族部落中，還是有能力運用一一對應關係（one-to-one correspondence），確認他的二十頭羊是否走失。

頁151：有關骨牌比喻數學歸納法之說明中，原文「直到僅餘一個骨牌直立著」應該修訂為「直到還有很多很多張骨牌直立著」，才比較「正確」與達意。

在頁196，作者提及群論（group theory）是在伽羅瓦（Évariste Galois）決鬥身亡前一天晚上寫成的作品中達到完善。又，在頁236，作者再次強調：「在決鬥身亡的前一天晚上，二十歲的伽羅瓦盡情發揮才能，重新檢視多項式方程式的根，首次發現了對稱性約束系統，這個系統可以決定哪些方程式可解、哪些不可解。」有關此一敘事不符合史實，數學史家早已貼心糾正，可惜，作者可能還是參考始作俑者的貝爾（E. T. Bell）的《大數學家》（Men of Mathematics）。事實上，在決鬥前夕，伽羅瓦寫信給他的好友，交代後者要幫忙珍惜他自認為畢生最偉大的數學貢獻，而那是他已發表的論文結果，因為他說：「我的命運已經無法讓祖國及時認識我的貢獻。」

（本文作者為臺灣師範大學數學系退休教授）

緒論

這本小書的主題是超基礎數學（absolutely elementary mathematics, AEM）；也就是說，本書談的是自然數、0、負數和分數。這不是一本教科書，不是專門論著，也非參考書。我希望以這本書做為我其他數學書籍的支柱。

數學家向來設想數學就像一個城市，城市天際線矗立著三座雄偉的高塔，如同一個強大智識文化各領域的掌管者――恰如我們現在的文化一樣。這三座雄偉的建物分別致力於「幾何」、「分析」和「代數」，探究的對象各是空間、時間及符號和結構。

這些建物就像巴比倫的寶塔，散發出神聖的氛圍。
它們所立足的共同基礎一樣很神聖，因為人類足跡雜沓而顯得神聖。
這就是超基礎數學的領域。

數學中有許多領域散發著迷人的光采，這些領域都很奇特。基礎數學一方面讓我們想到尋常可見的日常事物，例如支付帳單、標記生日、劃分債務、切割麵包和測量距離，都是些再實際不過的事。假設明天教科書都沒了，書中的珍貴知識也隨之消失，微積分大概要過幾百年才會重新被發現，但我們的債務只要幾天就會再度被提到，而用來表示債務的數字也會跟著出現。

研究經常會學到且有時會用到的基礎數學，必須沉浸在混雜之中。耐心是必備條件，樂趣則不會那麼快出現。小數點似乎會遊走，負數變成正數，分數還會突然上下倒轉過來。

3/4除以7/8是多少？
電子計算機讓幾乎所有人都以漫不經心、無關緊要的態度處理這類問題。計算機計算得快速、正確又輕鬆，而且比百年前的人大費周章得出的答案更好。認為自己已經很熟悉基礎數學（儘管是記得一半而忘了一半）的想法讓人欣慰，準確得近乎過分的計算機和電腦也是如此。然而，記憶和科技的必然性卻帶來一個顯而易見的問題：為什麼要花力氣去學我們已經知道，或者至少我們認為自己知道的事？

這個問題體現一種混淆的情況。基礎數學的技巧是一回事，但解釋基礎數學完全是另一回事。每個人都知道如何將兩個單純的自然數相加，例如2 + 2。要說明加法的意義，以及證明它確實可行，卻困難得多。數學能解釋加法的意義，也能提出證明它確實可行的理由。因此而得出的理論必須兼具的精巧和細緻，與所有偉大智識努力的特質完全相同。

原本情況很可能完全不是這麼回事。儘管基礎數學十分重要，卻可能與它的理論不連貫，以致展開後就像一張地圖，地圖上的路不是毫無理由地分叉，就是通往絕望的一團亂中不知所終。不過，可以用來解釋基礎數學及證明相關技巧確實可行的理論，在智識上具有連貫性。它效用強大，十分合理，而且毫不違反直覺，因此適用於它的學科。如果說最簡單的數學運算――還是加法――還有些我們不了解的東西，那只是因為在自然（或生命）中沒有什麼是如我們所希望那樣全然了解的。

儘管如此，得出的理論是十分根本的。不要懷疑這一點。初期教育的主要內容已經消失無蹤。有一個觀念仍然存在，因此這個觀念成了主流：超基礎數學的計算和概念，受一個人的單一計數行為控制。這個分析有一種經濟效益，並且將經驗化約為一些要點，引人注目的程度與在自然科學中所見的一切不相上下。

19世紀末之前，沒有人了解這一點；一世紀之後，依然沒有被廣泛了解。學校教學沒有太大幫助。德國數學家蘭道（Edmund Landau）在其著作《分析之基礎》（Foundations of Analysis）中寫道：「請忘記你在學校學過的東西，你根本沒有學會。」
有時候，我會要求讀者自己忘記某些東西。

現在必須透露一個祕密。它是所有撰寫數學作品（或教數學）的人都很熟悉的祕密：沒有人非常喜歡這門學科。這句話最好立刻說出來。數學就像西洋棋一樣，擁有令人著迷的力量，但通常不容易讓人愛上它。
為什麼會這樣――我的意思是，為什麼大家不喜歡數學？

有兩個顯而易見的原因。數學讓初學者感到陌生，這種陌生感與數學運用神祕艱澀符號的程度大致成正比。有一種關於數學符號使用的看法，也可以說是一種牢騷，就是當一件事需要耐心時，似乎很難從中獲得樂趣。
幹嘛這麼麻煩？

如果說數學的符號工具是使它難以廣受喜愛的原因之一，論證（argument）就是另一個原因。數學攸關證明，否則什麼都不是。但證明當然不會來得那麼容易。即使是一個簡單的數學論證，論述的詳盡程度往往仍相當驚人；而更糟的是，一個證明的複雜結構與該證明意欲演示（demonstration）的簡單明瞭之事，兩者之間落差極大。0與1之間沒有自然數。誰會懷疑這件事？但你必須證明這一點，而且一步步證明。這得用上一些很困難的觀念。

幹嘛這麼麻煩？
無可避免地，這個過程涉及棘手的交易。在數學中，有投入才會有收穫，而收穫絕不像投入那樣如此顯而易見。許多人不願參與這樣的交易。

真的，幹嘛這麼麻煩？
這個問題並不可恥。它值得回答。
就數學的許多領域來說，答案是清楚明白的。幾何研究的是空間，是點與點之間神祕難解的事物。對幾何漠不關心，就是對物質世界漠不關心。這就是為什麼高中生在學習歐幾里得時，多半認為自己正被迫學習某種他們必須了解的東西，覺得不太情願。

那麼代數呢？代數符號有種控制事物不斷變動的神奇力量，這種感覺向來能抵消這門學科（在高中）引起的反感。古代教科書的主要內容談的是農民和肥料，但現代教科書的主要內容則是其中的能量和質量數字。愛因斯坦只需要高中代數就能建立他的狹義相對論，一定需要高中代數，否則他將無法建立這個理論。

數學分析以微積分的形式，讓歐洲數學家慎重關注。他們幾乎立刻了解到，他們已經獲賜最重要且在某些方面來說最偉大的科學理論。懷疑分析的重要性，或者嘲弄它的主張，就是忽視人類所獲取最豐富且最極度發展的知識體系。

是的，沒錯。這確實令人振奮，但超基礎數學如何？不久之前，法國數學家孔恩（Alain Connes）發明古數學（archaic mathematics）一詞，用以描述構想處於原始階段且尚未區分為不同學科的領域。這個措詞很優雅，描述貼切。它顯示出如果正確理解，基礎數學絕對力量非凡的原因。它是基本的事物，而且就像語言一樣，是一種人類本能的表示。

超基礎數學理論是以現代詞彙，描述某種想像深處的事物。這個理論數百年來的發展，象徵自我意識的一種非凡運用。
這就是需要花費這麼多心力的原因。透過數學家之眼來觀看一個古老而熟悉的領域，我們能夠獲得力量，第一次透徹了解它。
它絕對不是不重要的東西。

2010年於巴黎

1. 一隻羊、兩隻羊、三隻羊。成群的羊毛堆……

2. 亨利有六個老婆，但「Henry」這個英文字有五個字母。數字與它們的名字是兩個不同的概念。如果無法區別兩者，就無法了解數字如何被命名，也就不可能了解位置記數法（positional notation）的久遠歷史和文明藝術。

3. 喜歡追根究底並非物理學家獨有的特性。如果存在有比數更根本的事物，為何我們必須認為數是萬物的最根本？究竟為什麼？

4. 人類知識極不穩定。我們彼此之間只是陌生人，甚至我們也不認識自己。當我告訴你說，你根本不知道你以為自己知道的事情，其實我的意思是，你根本就不知道。

5. 數學是冷酷的大師，而邏輯更加冷酷。這是普遍的認知，不過也離事實不遠。

6. 公理系統的概念是數學體系的核心，如同哥德式大教堂代表了中世紀建築風格。數學家汲汲追求的是形式。

7. 皮亞諾公理是極大的成就，因為它們將自然數納入公理系統；而它們的蘊涵也很深遠，因為它們賦予了後繼這個概念重要性。

8. 加法是「超基礎數學」的四種運算之一。其他運算包括乘法、減法和除法。每一種運算都是用兩個數產生第三個數。有2，還有3——這是兩個數，然後有2+3，於是有了第三個數：5。

9. 「加法的定義」這個詞似乎意味著歷經好幾世紀的努力，當代數學家現在終於能夠徹底說清楚加法的含意。但其實並非如此。

10. 古代商人發現了將數相加的方法，當然也知道如何把數相乘。他們運用的技巧是蘇美帝國抄寫技藝的一部分。

11. 位置記數法是數的命名原則，但到目前為止，這種方法只限於以兩個名字指涉的數，例如27或32，也就是形式為ab的數。

12.勞倫斯（T. E. Lawrence）為道堤（Charles M. Doughty）的《阿拉伯沙漠旅行記》（Travels in Arabia Deserta）寫序時，在文中試圖描述他和道堤都很稱道的沙漠阿拉伯人的性格。「這個民族絲毫不令人厭惡。」勞倫斯寫道：「他們毫不質疑地接受生命這個禮物，將它當成公理。」

13. 19世紀初，劍橋或牛津什麼都不好。

14. 算術定律。這個措辭本來就古怪，再加上發現這個定律的數學家是律師，顯得更為古怪了。

15. 定義遞降帶來一個問題：文字遊戲如何含括無限運算？數學家可以借助遞迴定理，令人信服地表示一切沒問題。

16. 在這些枯燥乏味的細節中，不妨體會一下它們隱含的熱情，以及它們引發的戲劇性事件。

17. 加法的結合律指出，對每一個數z和任兩個特定數a和b，a + (b + z) = (a + b) + z。如果它的意義就是如此，下面提出證明。

18. 自然數就是自然數；0就是0。它們的存在難以捉摸，也沒有形狀。

19. 加法是把數加入數；減法是由數取出數。取走抵消加入。

20. 某些數學家擁有它――我說的是那種「悸動」。他們感覺到有什麼東西就要出現了。

21. 群在「超基礎數學」中占有一席之地；但真正獲得注意和受到熱愛的是環。

22. 負數最讓人傷腦筋的一件事，就是符號律。負2加負2是負4；負2乘負2卻是正4。兩個結果的數字部分都是4，但前面掛著不同的符號。

23. 「萊茵德紙草書」（Rhind payrus）是一張羊皮紙，1858年由萊茵德在埃及的路克索（Luxor）遭到非法挖掘出土。其後在貪污官員間轉手數次，之後因為一次大規模的皇室貪污案爆發，最終由大英博物館收藏。

24. 相信半條麵包比沒有還好的人，不會對1/2這個數感到不安。

25. 加法、乘法和減法在數學生命中一直是強大的創造力。

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一隻羊、兩隻羊、三隻羊。成群的羊毛堆……

◎數

自然數1、2、3……在我們的日常事務中扮演了雙重角色。沒有這些自然數，我們無法計數，也就無法回答有多少？這個問題。一個人如果無法說出他看到一隻羊還是兩隻羊，表示他沒辦法辨識羊。他看到的只是一大堆在走動的羊毛。有了自然數，他就不會再「目中無羊」。12世紀時夏爾特的希瑞（Thierry of Chartres）曾說道：「數的創造，事物的創造。」
計數讓事物具備自己的身分（identity），同時賦予事物差異性。三隻羊代表三個事物。自然數體現了區別性和獨特性。畢竟，1與2之間什麼都沒有，而不同的事物無論在各個方面有多麼相似，彼此之間同樣什麼也沒有。自然數之間的離散性就像我們皮膚的表層一樣是絕對的，允許接觸，無法相互混合。
當然，世界上有些東西是無法計數的，例如泥巴。「泥巴」一詞似乎可以指涉在任何地方、以任何方式被發現的泥巴。但智性衝動讓我們總希望可以計數所有東西，所以日常英文提供了用以計數的工具，甚至可以藉由這些工具來計算泥巴數，例如一點兒泥巴、一小坨泥巴或一堆泥巴，因此可以說一點兒、兩小坨或三堆。用來計算羊隻的1、2、3，也可以用以形容泥巴多寡。自然數讓某個披著皮衣、雙頰凹陷、嘴嘟兩顆金牙的西班牙牧羊人，得以使他的羊群及乃至他的生活井然有序。
這些牧羊人會說，兄弟們，第一隻是我的，第二隻是你的，第三隻是他的。

◎抄寫技藝

五千多年前，沙漠太陽初升、萬物未朽時，蘇美人就教導他們的孩子「超基礎數學」。蘇美小孩學習基礎概念；他們的老師則已掌握精髓。他們發現這並不容易。蘇美抄寫員自小開始學習經年，以便把稅收紀錄、商業交易、法律規範、房地產交易刻寫在泥板上。他們對數學的嫻熟運用是歷史上所留下最早的相關紀錄。
他們不會為覺得自己未達天職所苦。一位抄寫員寫道：「抄寫技藝是大師之父。」
他補充說，僅只抄寫員本身就能「撰寫〔銘刻〕碑文；劃分田地，結清帳目」。
文本中有一處空白，使敘述中斷。
接著是一個前後被隔開的短句，顯示出這位抄寫員的崇高智識：……宮殿……。
接近西元前2000年時，蘇美帝國逐漸沒入沙漠沙土中，最終被時間擊垮。我想隨著世局或其他某種熱烈的思潮，讓中國人習得這種嫻熟「超基礎數學」的抄寫運用，這種對象形文字的嶄新運用讓他們沉醉，之後巴比倫人也學會了，於是在古文明各地都可看到這種數學運用。
不同的社會各自以自己的方式、針對各自的目的運用「超基礎數學」。每個社會都遺漏了某些東西，而且沒有一個社會，包括我們現在的社會，知道所有的一切。

◎局外人

1823年，克羅內克（Leopold Kronecker）出生於東普魯士小鎮利格尼茨（Liegnitz）。1944年底，利格尼茨遭俄國坦克占領，現更名為萊格尼察（Legnica），位於波蘭境內。東普魯士已不復存在。

你很難在照片上看清楚克羅內克的面容。刺眼的光線和延長曝光，使得臉部線條變得陰暗。剛毅的皺紋顯示出他與雪曼將軍（General William Tecumseh Sherman，美國南北戰爭北部聯邦軍將領）之間未被承認的血緣關係。兩人都是高額，近乎平頭的短髮；眼窩深凹，眼神陰鬱。從所有這些特徵看來，克羅內克無疑是純正的普魯士人，低調自制，但他的鼻子卻清楚明白地展現出超群不凡的一面，驕傲地在兩頰之間挺立著，再彎向凹溝狀的鼻尖。
我這樣描述不是為了嘲笑別人的鼻子，畢竟我自己也有個讓我原形畢露的鼻子，而是為了說明克羅內克有本事一方面表現得特立獨行，同時又能與其他數學家融合。克羅內克是思想史上的稀有動物，一位數學懷疑論者，對於他無法完全理解的想法，不輕易表露支持的態度，而他很快就推斷出他無法百分之百地理解大多數數學概念。縱然「陰鬱的克羅內克」以表達不支持著稱――不支持負數、不支持實數、不支持集合――他對自然數表達的支持眾所周知，對於這些歷史悠久的思想和經驗客體表達了堅定的支持，這項支持發展成包括運用自然數以有限的一連串步驟得出的任何數學建構。
表達無數不支持的克羅內克，與表達單一支持的克羅內克，兩者合為獨一人格：溫文、順從又自滿。
克羅內克二十多歲時從商，在他舅舅位於東普魯士的房地產公司擔任主管。他在商業實務上極有天分，僅僅八年時間便成為富翁。之後他在柏林購置華宅，與舅舅的女兒普勞絲妮澤（Fanny Prausnitzer）結婚後，這座宅第成為文化和高尚生活的中心。
龐大的財富使克羅內克對於歐洲頂尖數學家愛玩的大風吹遊戲絲毫不感興趣，一旦席位很少的教授職位有空缺，便有一堆人搶著要。音樂一停，他們就粗莽地爭先恐後搶空位。無可避免地，大多數人失望告終。像是鼎鼎大名的數學家康托爾（Georg Cantor）為了柏林的教授職位空等多年，最後仍無法達成願望。
克羅內克先生對於成為教授先生興趣缺缺。他不需要爭搶教授的位置，更不需為了生活搶取位置。他所沒有且真正想要的是在柏林大學講課。他的論文致力於數論、橢圓函數和代數的研究，極為突出，卻不具革命性。他在1861年獲選進入柏林科學院，因而得以在柏林大學講課。
雖然他並未努力力爭上游，卻已成為頂尖人物。一旦躋身名家，克羅內克便決心糾纏那些他不認同的人。他對此樂此不疲。

◎在一切人類心智中

人類歷史初始時，一位新石器時代的獵人在他的斧柄上鑿了幾道砍痕或刻痕。他在記錄獵殺的野牛嗎？我不知道。我寧願這麼想，身為我的祖先，他性好沉思默想，並將數字視為物自身（things in themselves），把那些醃燻野牛留給對手。
如果自然數在人類歷史初始時便出現，那麼它們也同時出現在一切人類心智中。否則我們就無法學習算術了。人類學家往往對不同社會用以使最基本的經驗事實條理井然，所採行的完全不可共量（incommensurable）的方式，感到驚奇。據說體驗這一點是旅行的樂趣之一。儘管如此，我們所說的1、2、3，拉丁文的unus、duo、tres，以及阿卡德語（Akkadian）的dis、min、es等，指的正是相同的數字。縱然羊眼在蘇丹首都喀土穆（Khartoum）是佳餚，在紐約卻非美食，但在這兩個城市中三隻羊眼無疑都比兩隻羊眼多一隻。
因為自然數一體通用，所以極少讓我們反思這些數。我們將自然數視為理所當然。沒有自然數，我們會不知所措。
自然數就是自然數。
自然數是什麼，完全是另一個問題。
英國邏輯學家和哲學家羅素（Bertrand Russell）強烈激昂地反對一次大戰，他利用做為拒服兵役者而遭監禁的機會，系統化他對數的本質的看法。或許有人認為羅素是在苦行的情況下寫作，但他在其著作《羅素自傳》（Autobiography）中指出，除了沒有自由之外，獄卒提供他一切便利。
羅素在獄中所寫的《數學哲學導論》（Introduction to Mathematical Philosophy）是一部邏輯分析著作。這本書深深影響了數學家和哲學家，因為它以自然數以外的某種東西來說明自然數。羅素堅信這樣的說明有其必要，因為數在本質上是「難以理解的」，而且雖然在最尋常的活動中都能察覺數的作用――要知道，數羊時就會用到數字――它們的作用仍遠比它們如何發揮作用容易確定。
首先，數字不是實體物件。它們根本不是物件。三隻羊在牧草地上。除了羊之外，並沒有三個數字在晃蕩吃草。
然而，這裡也沒有實體物件的數字的性質。三隻羊的隻數是3，就像牠們的顏色是白色一樣。這個步驟方向正確。但要論證隻數是3，就像要說顏色是白色一樣，會引發使三隻羊的隻數成為3的性質究竟是什麼的問題。我們知道使牠們是白色的性質是什麼：就是牠們的顏色。如果說使牠們的隻數成為3的性質是牠們的數字，似乎算不上有進展。如果我們知道數是什麼，就可以知道牠們共計3隻是什麼意思。
針對是什麼使三隻羊的隻數是3這個問題，羅素認為，這三隻羊與其他三個事物的集合相似，例如三胞胎、三巨頭或三重奏。這點顯而易見。三隻羊與三位牧羊人是一樣的。它們都是三個。羅素接著證明，不需要借助數字3，就可以解釋它們一樣都是三個。這個步驟至關重要。如果每位牧羊人可以與一隻且只一隻羊配對，反之亦然，則三隻羊與三位牧羊人是一樣的。不需要數字就能知道。每隻羊都與一位牧羊人成對，且每一位牧羊人都與一隻羊成對。
這項論證很巧妙，卻也讓人失望。為了便於解釋類似的集合，數字3注定會消失，但究竟是什麼讓一個三隻羊的集合成為隻數3的羊的集合，而不是隻數4？四位牧羊人與四隻羊也可以組合對應，使得沒有東西剩下來，沒有羊也沒有牧羊人被遺漏。顯而易見的答案是，四隻羊的集合比三隻羊的集合大。
事實上，正好多1隻羊。

◎妻子、山羊、數

自然數從1開始，逐次加1，然後一直延續到無限大。了解自然數的這項特性是民族的遺贈。的確，人類學家指出，某些部落沒有關於數的完整觀念。他們的計數方式是1、2、很多，提到任一大於2的數字時便愁眉地說那是很多。一位崇高的酋長可能會說有一位酋長、兩隻山羊、很多妻子。
我很懷疑這類敘述，因為我非常確定如果拐走酋長的一個妻子，一定會讓酋長注意到他擁有的很多妻子少了一個。如果他能確定自己擁有的妻子比他所需要的少一個，他同樣能確定自己擁有的妻子比他所想要的多一個。因此，迫於部落生活的急切需求，他可以累加細數自己接續不斷的不滿：很多妻子、比很多多一個妻子、比很多多一個多一個妻子，依此朝堂而皇之的家庭夢魘發展。
反言之，他可以累減到至最少的數字1，此時他可以讓他愛爭吵的妻子數與酋長數相當――兩者都是1。這樣的數字系統確實相當費力，但腦力勞動者往往不太關心現實考量。

◎上帝的工作

如果解釋數是什麼很困難，那麼要說明如何運用數同樣非易事。計數數量不多的羊最常見的方式是握拳再伸展手指，數一隻羊就伸一根手指；我們想數羊時都是這麼做的。但用這種方式解釋數羊有個缺點，就是儘管我們對數手指再熟悉不過，解釋數手指並不比解釋數羊更容易。我們應該借助一次數一隻羊的方式來解釋如何數三隻羊嗎，每次做一個具體動作來說明計數1，例如把那些羊一隻一隻從牧草地上移到牧場內？這種解釋方式很吸引人。某件事正完成中，而當這件事已完成，某人就完成了某件事。但顯而易見地，如果我們想了解數三隻羊是什麼意思，告訴我們必須先一次數一隻羊地數三次，很難讓我們更清楚了解這件事。適用於計數的解釋也適用於排序，就像牧羊人用他們妙用無窮的手指解釋第一隻羊在第二隻羊之前走進牧場，而第二隻羊在第三隻羊之前走進牧場。手指猛力伸出：第一隻、第二隻、第三隻。然而，如果羊以某種特定順序行進，就很難說手指的排序可以與羊群中的排序相同。如果手指的排序與羊群中的排序不同，手指的作用是什麼？如果兩者排序相同，這個類比的作用又是什麼？
在某個時間點，或許就是現在，可以合理地認為，沒有數或運算，而以某種更基本的東西取代來進行分析，是不可能的。數就是最基本的東西。可以更清楚地了解數；可以更清楚地描述數；但數本身無法變得更清楚。
克羅內克評論道，自然數是上帝的禮物。其他一切都是人造的。這個想法很激進，一方面承認自然數無法解釋，另一方面指出數學家固有的工作必須接受這份奇特的禮物，並且由這份禮物推導所有其他東西。
了解到我們在「超基礎數學」中正在做上帝的工作，令人欣慰。