歐拉講的π的故事（簡體書）

; 狹義上的古希臘以亞歷山大的征服結束了其短暫的歷史，可古 希臘文化卻以“希臘精神”的名義延續了漫長的歷史歲月。而數學 作為古希臘文化的靈魂，成為“希臘精神”中一朵絢麗的奇葩。 尤其以師徒名義出現在“希臘精神”時代的歐幾里得與阿基米 德，更是將古希臘的數學精神推向了世界巔峰。 由于在“希臘精神”時代包括數學在內的所有學問興盛于亞歷 山大這一新生的港口城市，因此這個時代的數學又叫做“亞歷山大 時代的數學”。 同學們都知道牛頓（Isaac Newton，1642—1727）是掀開17世紀 近代科學之門的偉大科學家。這節課我將給大家介紹一下為開闊牛 頓的視野助其一臂之力的數學家阿基米德。 小華：老師，什么叫古希臘數學精神？ 簡單地說，不是從“理所當然”的事情獲得眼下所必需的實用 結果，而是從“只能如此”的邏輯獲得必然真理的科學態度。一句 話，古希臘的數學是以科學論證為基礎的。 科學論證追根溯源還要提及古希臘科學之父泰勒斯（Thales， 約公元前624—約前546年）。他很早以前就懂得我們在前面談過的兩 個文明古國埃及和美索不達米亞的學問。泰勒斯對數學的最大貢獻 就是洞察了這兩個文明的數學體系之區別，立足于純粹的理念從事 他的數學研究。 如果說泰勒斯只滿足于數的理念的相對準確性，那么這個世界 上就不會誕生與前面講過的四大文明古國的數學完全不同類型的數 學了。因為他所要求的并不是相對準確性，而是堅不可摧的真理。 小娟：那么古希臘數學與其他文明古國數學的區別是什么呢？ 作為象征性的例子，我們可以舉“已被公開的命題”。以公元 前480年薩拉米斯海戰的勝利為轉折點，古希臘終于擺脫長期以來的 波斯帝國的統治，實現了古希臘文化的持久繁榮。 雅典是希臘的政治、文化中心，市民們將維持基本生活的勞動 交給奴隸們去干，他們自己則專心從事政治和文化，尤其是研究學 問的活動之中。 人人講學問的習俗在雅典已經蔚然成風，附近很多地方的有識 之士聚集在這里互相交流，探討。在研究學問的大氣候下，職業性 的教職者階層也悄然產生了。 小東：哦，原來他們就是那些聞名遐邇的詭辯家階層呀！ 沒錯。詭辯家們以自己所擁有的不同程度的學識演講和教書， 從市民以及前來參與辯論的人們那里獲取報酬。為了顯耀自己的學 識，這些詭辯家們動不動就聚在一起開展辯論會，以證明自己所擁 有的學問。 這些詭辯家當中也有不少偽學者，常常用詭辯來偽裝自己，因 此人們對這些詭辯論者的印象并不怎么好。然而，詭辯論者畢竟是 “擁有智慧的人”，通過公開的辯論也確實引導人們走上了尋求真 理之路。其代表人物正是蘇格拉底（Socrates，約公元前470—前399 年）。當時詭辯家們最熱衷于研究的是幾何學的作圖問題。 小娟：真沒想到學者們議論的中心課題竟然是數學。到底都是 些什么問題呢？ 長期以來未能解決的三大作圖難題不僅僅很有名，而且在解決 這個難題的過程中數學得到了巨大的發展。對我們來說更具意義的 是這三大作圖難題中還包括圓周率的問題。 同學們：什么叫三大作圖難題呀？ 三大作圖難題如下： ?對已知任意一個角能否三等分？（任意角的三等分問題） ?能否畫出與已知圓面積相同的正方形？（化圓為方問題） ?能否畫出兩倍于已知立方體的另外一個立方體？（立方倍積 問題） 但這三大難題有一個前提條件，即必須使用沒有刻度的直尺和 圓規。這里需要我們關注的是問題?。可以說，這三大作圖難題是 數學史上具有深遠意義的問題。 這里我想再次強調一遍的是，當時的詭辯論者們對這些問題是 能夠進行公開討論的。對任何一個難題隨時都可以公開辯論，這是 古希臘數學與其他古代數學最大的不同點，也是古希臘數學的核心 所在。 小華：那，古希臘數學的這一特點帶來了什么結果呢？ 其結果就是只有古希臘數學才具備的嚴謹的論證法。僅就歐幾 里得的《幾何原本》來說，盡管它涉及到的只是現代初中數學水平 的內容。，可古希臘人竟然用長長13卷的長篇論著詳細地論證了其內 容。那里不僅包含幾何學的內容，還囊括當時認為是最基本的數學 知識（綜合幾何、代數、數論等）。然而，由于古希臘數學是以論 證為基礎的，因此唯獨計算術沒有包含其中。 小華：古希臘人通過論證追求真理，這一點確實比東方的實用 性數學進步得多。可古希臘人為什么在作圖的時候只使用直尺和圓 規呢？這一點我始終想不明白。 很好。雖然是與圓周率無關的問題，但你提出了一個非常重要 的問題。 古希臘數學家們為了使自己的論證成為無懈可擊的真理，便提 議以幾個不證自明的公理為前提進行辯論，并把所有的具體命題都 聯系在這個不證自明的公理之上。 以某一形式作圖便可證明某一形狀的圖形命題，這種思維方式 對古希臘人來說具有如下意義。 如果把已知命題與不證自明的公理聯系在一起，那么該命題也 就變成了不證自明的命題。這種邏輯技巧叫做演繹法。 歐幾里得的公理相當于使人們親眼確認最基本的作圖。歐幾里 得的公理之所以讓人心服口服，正是因為他的作圖只限使用沒有刻 度的直尺和圓規。如果使用其他的輔助工具，具體的命題就不能以 幾個不證自明的公理聯系在一起。正是因為有了這個限制，三大作 圖難題才稱其為難題，否則所謂的三大作圖難題就根本稱不上是什 么難題。比如說，將一個任意角進行三等分，只要允許用有刻度的 直尺量一下就很容易解決了。 小娟：真的嗎？您能給我們演示一下嗎？ 其實這種解法也是由阿基米德提示的，而且非常簡單。好，現 在我就給你們演示一下。 P55-60