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《小波數值方法及應用》系統地描述了求解偏微分方程的一種高效數值計算方法——小波數值解法，分別介紹了求解偏微分方程的單尺度小波方法和自適應小波配置法及其在工程上的應用。《小波數值方法及應用》總結了作者近年來應用小波數值方法求解土壤坡面侵蝕模型、Black-Scholes模型、圖像處理模型等方面的科研成果，突出了數值求解方法自適應性的鮮明特色。《小波數值方法及應用》內容上力求做到深入淺出、通俗易懂,不僅具有一定的廣度和深度，而且也反映了工程中偏微分方程模型求解的新問題，介紹了學科前沿的新應用成果。《小波數值方法及應用》第1章系統地描述了“偏微分方程數值求解方法”的理論體系及工程中應用的偏微分方程模型；第2～4章分別介紹了三種區間插值小波的構造方法、基於精細積分技術的同倫攝動法、求解偏微分方程的小波精細積分法；第5～6章給出其在諸多非線性問題上的應用，涉及細溝侵蝕過程模型、圖像降噪模型、圖像分割模型等問題。《小波數值方法及應用》可供研究領域涉及非線性問題的科學家、工程師以及應用數學、圖像處理領域的教師和研究生參考。·
名人/編輯推薦
《小波數值方法及應用》可供研究領域涉及非線性問題的科學家、工程師以及應用數學、圖像處理領域的教師和研究生參考。
目次
前言第1章 緒論1.1 偏微分方程的小波數值解法發展概況1.1.1 偏微分方程的單層小波數值方法1.1.2 偏微分方程的自適應小波方法1.1.3 小波數值方法中邊界條件的處理1.2 精細積分法的發展及應用1.2.1 指數矩陣精細算法1.2.2 精細積分法在非線性動力方程求解中的應用1.2.3 精細積分法在偏微分方程求解中的應用1.2.4 精細積分法在結構隨機振動響應分析中的應用1.3 非線性隨機有限元法的發展概況1.3.1 隨機有限元法1.3.2 非線性方程的線性化1.4 工程中的偏微分方程模型1.4.1 土壤坡面侵蝕模型研究概述1.4.2 Black-Scholes模型1.4.3 圖像處理的偏微分方程方法參考文獻第2章 區間插值小波的構造2.1 插值小波變換的定義2.1.1 小波變換2.1.2 插值小波變換的定義2.2 基於廣義變分原理的擬Shannon區間小波構造2.2.1 擬Shannon區間小波的構造2.2.2 擬Shannon區間小波中參數的選擇2.3 基於牛頓插值的動態區間小波構造2.3.1 區間插值小波的數值逼近誤差分析2.3.2 動態區間小波的構造2.3.3 數值結果分析與討論2.4 基於差分的區間插值小波構造2.4.1 區間插值小波的構造原理2.4.2 基於差分的區間插值小波構造2.4.3 數值實驗結果分析參考文獻第3章 基於精細積分技術的同倫攝動法3.1 結構非線性動力方程的精細積分計算3.2 同倫算法的基本原理3.3 基於精細積分的同倫攝動方法3.3.1 基本原理3.3.2 和其他方法的對比3.3.3 改進的漸近數值方法3.4 數值算例及討論3.5 小結參考文獻第4章 求解偏微分方程的小波精細積分法4.1 偏微分方程的區間小波自適應精細積分法4.1.1 非線性偏微分方程的區間擬Shannon小波空間離散4.1.2 非線性常微分方程組的自適應精細時程積分法求解4.1.3 數值結果及討論4.1.4 小結4.2 基於同倫攝動技術的Burgers方程的小波精細積分算法4.2.1 算法基本原理4.2.2 數值結果及討論4.2.3 小結4.3 求解非線性偏微分方程的自適應小波精細積分法4.3.1 基於擬Shannon小波的自適應插值基函數的構造4.3.2 偏微分方程的空間自適應離散格式4.3.3 數值結果和討論4.4 求解非線性Black-scholes模型的自適應小波精細積分法4.4.1 非線性Black-Scholes方程4.4.2 非線性模型的分析及參數變換4.4.3 基於quasi-Shannon小波的自適應插值基函數的構造4.4.4 數值結果及討論4.4.5 結論參考文獻第5章 細溝侵蝕隨機水力模型的小波攝動法分析5.1 細溝侵蝕過程仿真模型5.1.1 基本方程5.1.2 泥沙運移方程5.1.3 不考慮寬度變化時的細溝侵蝕數學模型5.1.4 邊界條件和初始條件5.2 細溝侵蝕過程仿真模型小波離散格式5.3 細溝侵蝕過程仿真模型的小波隨機攝動法分析5.3.1 細溝水流深度h5.3.2 細溝水流速度u5.3.3 細溝水流中泥沙濃度c5.3.4 數值結果分析參考文獻第6章 二維多尺度小波插值算子的構造及應用6.1 二元張量積小波分析6.2 二維偏微分方程的小波配置法6.3 任意多邊形區域上二維偏微分方程的小波配置法6.3.1 虛擬區域法基本原理6.3.2 數值實驗6.4 用於隨機振動分析的小波數值方法6.4.1 FPK方程的離散6.4.2 FPK方程離散形式的求解6.4.3 數值算例6.5 圖像降噪的小波精細積分方法6.5.1 基於熱傳導方程的圖像降噪6.5.2 精度和效率分析6.6 遙感影像降噪的自適應小波精細積分方法6.6.1 quasi-Shannon多層插值小波算法6.6.2 數值實驗結果和討論6.6.3 結束語6.7 改進的CV模型及其在高分辨率遙感影像分割中的應用6.7.1 CV模型6.7.2 改進的CV模型6.7.3 實驗結果與分析6.7.4 結束語6.8 洋蔥圖像分割小波精細積分法及其對比研究6.8.1 圖像分割的小波精細積分法6.8.2 洋蔥感染區域分割實驗及討論6.8.3 結束語參考文獻附錄·
書摘/試閱
第1章 緒論
1.1 偏微分方程的小波數值解法發展概況
偏微分方程數值解是計算數學最活躍的分支之一，應用最廣泛的數值方法是有限元方法（。niteelementmethod，FEM）、有限差分法等[1，2]。在處理非奇異偏微分方程（尤其是橢圓型和拋物型方程）方面，有限元方法可以說是盡善盡美了。但是對奇異情形卻有許多不盡人意之處。例如，在處理奇異情形的最常用方法――局部加密網格法，一般要預先知道解的奇異程度。
小波逼近作為一種求解偏微分方程的潛在的高效數值計算技術，已引起人們的廣泛關注[3～49]。由于小波同時在空域和頻域具有局部化特性，所以當求解在空間域和時間域具有劇烈變化甚至奇異性的問題時，采用小波方法似乎是理想選擇。從已有的文獻來看，用于偏微分方程求解的小波方法可以分為兩大類，一類不具有自適應性質，可稱之為單尺度或單層小波方法；另一類是自適應小波配置法。
1.1.1 偏微分方程的單層小波數值方法
采用小波逼近法求解偏微分方程時，較簡單的方法是直接將小波函數或小波函數對應的尺度函數作為試函數應用于傳統的有限元方法中[50～54]。由于小波函數具有緊支撐性，所以得到的有限元剛度矩陣是帶狀矩陣；如果采用的小波函數是正交小波（如Daubechies小波），則偏微分方程的小波有限元離散格式中的剛度矩陣是稀疏矩陣，從而使計算速度大大提高。對這種方法來說，小波的選擇非常重要。在20世紀90年代初期，大多數求解偏微分方程的小波逼近算法都是基于Daubechies小波的，Daubechies小波最大的優點是同時具有正交性和緊支撐性；其缺點是沒有解析表達式，其導函數同樣沒有解析表達式，并且求解過程非常復雜[53～57]，這就使小波方法很難應用于高階微分方程的求解中。因此，只有找到一種具有解析表達式同時又具有緊支撐特性的正交小波，這種方法才有意義。
由Wei提出的擬Shannon小波[58]雖然不是一種純粹意義上的小波，但它符合插值小波的定義，同時具備緊支撐性和正交性。文獻[59]用這種擬小波求解了方程的解具有很大梯度的一般Burgers方程和修正Burgers方程，計算結果顯示該小波對數值求解有局部急劇變化解的非線性偏微分方程問題有巨大潛力。
1.1.2 偏微分方程的自適應小波方法
自適應小波方法能充分發揮小波變換對信號突變識別的特性，在用自適應小波有限元求解偏微分方程時，可大大縮減有限元格式中剛度矩陣的規模，從而提高計算效率。因此，這種方法是目前研究的熱點。
在用小波數值方法求解偏微分方程時，無法直接使用信號處理中的小波快速變換方法。因此，設計自適應小波數值方法的關鍵是構造一離散小波變換（DWT），DWT將函數值映射到小波系數空間中去，以便通過最終的小波展開式插值得到函數值。此外，如何在不同大小的網格交界處找到一個穩定、精確的插值算子也是構造自適應算法的難點之一。有關這方面的論文有很多，其中比較有特色的是Cai[60]和Vasilyev[61]的工作。
Cai構造的小波變換是基于以下空間H02（I）中的三次樣條區間小波基[14]：
4
φ（x）=N4（x）=61..4j.（.1）j（x.j）3（1.1.1）
+，
j=0
φb（x）=3x211x3+3（x.1）33（x.2）3（1.1.2）
++，
2+.122+.4
其中φ（x）為尺度函數，φb（x）為邊界尺度函數。由于該尺度函數對應的小波具有以下點消失矩性質：
ψj，k（x（kj））=1，ψj，k（x（i））=0，.1.l.ni.2，i.0；1.l.L.1，i=.1，（1.1.3）
l
所以該DWT的計算時間復雜度僅為O（NlogN），其中N為未知變量的總數。偏微分方程中的非線性項在物理空間很容易被處理，而這些非線性項的導數在小波空間非常容易得到。因此，基于此變換構造的樣條小波配置法可以處理非線性問題和各種邊界條件。
Vasilyev[61]幾乎和Cai同時研究了另外一種求解偏微分方程的自適應小波配置方法，提出了處理一般邊界條件的兩種不同方法，這兩種方法都是基于目前研究的小波插值技術。第一種方法將小波用作基，從而產生了一個差分 代數方程組，其中部分代數方程是由邊界條件得出的；第二種方法則利用能夠精確滿足邊界條件的擴展小波，由該方法導出了一組二階差分方程，利用具有小黏滯系數的一維Burgers方程對該方法進行了驗證，并和由其他數值代數方法得到的數值結果進行了對比，結果表明該方法可和最好的數值代數方法相媲美。其小波變換是按以下方式定義的：
jj，ssj
c=.C，0.j.s.J，k∈ZΩ，（1.1.4）
kk，mum
m∈Zs
Ω
1.1偏微分方程的小波數值解法發展概況3
……
其中
j，s
j
（Ai，j）.1Δj，s，0.j.s.J，k∈Z
k，pp，m
（1.1.5）
，m∈Zs
Ω
Δj，ssj，jj
.i，mum=.Ai，kck，0.j.s.J，
m∈Zs
Ω
C
，
Ω
k，m
j
p∈Z
Ω
jΩ
（1.1.6）
i∈Z，
j
k∈Z
Ω
l，jjjΩ
l
l..0l，jJ，iZ，kZ∈∈Ω
（x），（1.1.7）
A
=ψ
，
ii，kk
.j..1sjJ，iZZ∈∈s，mΩ
Ω
Aj，j為由（1.1.7）和算子Δj，s定義的（2L.j+Nl+Nr+1）.（2L+j+Nl+Nr+1）
i，ki，m
維矩陣，算子Δj，s定義為
i，m
..
Rj，sPj，j.1i，m..i，p
j.1
Ω
Rj.1，sp，m
，，
Δj，si，m
（1.1.8）
=
p∈Z.0，s
.R
..0=00sjJ，iZZ∈∈s，m，Ω
Ω
l，j
式（1.1.8）中的限制算子Ri，m定義為
lj
l，j.1，xi=xm，Ri，m=0，其他.（1.1.9）
Vasilyev的工作是針對所有小波函數的，其通用性好。但從以上變換過程不難看出，這種方法的計算工作量是很大的，如何簡化計算是該方法需要考慮的問題。
1.1.3 小波數值方法中邊界條件的處理
在20世紀90年代初期，大多數求解偏微分方程的小波逼近算法都是基于Daubechies正交小波在整個實數域上對平方可積空間L2（R）的小波分解的。在求解有限區間上的初邊值問題時，其實采用的是零延拓的方法，這必然會帶來可怕的“邊緣效應”[36]，如端點的不連續性、導數不連續性等，使得在端點處，即使用了很精細的尺度，也會有較大的小波系數。因此，這種方法在解有限區間上的初邊值問題時帶來了不必要的大量計算，降低了計算效率。
周期小波法是將定義在整個實軸上的緊支撐Daubechies型小波或樣條型小波以閉區間長度為周期將它們周期化而得到一組周期小波。例如，Liandrat等[37]、Lazaar等[38]、Joly等[39]、Qian等[40]構造的小波算法都屬于這種情況。這種方法僅能處理周期邊界條件問題，對于更一般的任意邊界條件則無能為力。
區間小波法。1992年，Chui等[41]提出了樣條型區間小波的概念及其構造方法。同年，Meyer提出了Meyer型區間小波。1994年，Anderson等[42]引入了“WaveletProbing”的概念，從而構造出區間小波。同年，Daubechies[36]提出了Daubechies型i，m，區間小波的構造方法。這些小波在構造時必須滿足一定的邊界條件（邊界條件往往由相應的偏微分方程實際問題給出），其大致構造思路如下：從定義在整個實軸上的Daubechies型緊支集（或樣條型緊支集）小波函數ψ（x）及相應的尺度函數φ（x）出發，先保留那些支集本身就在閉區間內部的ψjk和φjk，然后補充閉區間兩端點處的尺度函數與小波函數（這些函數應仍具有伸縮結構，但不再具有平移結構），使得對于每個j.0，保留與補充的尺度函數共同生成的空間Vj應具有遞增性，因而
仍能構成一個多分辨分析（MRA）。同時使得保留與補充的尺度函數能生成一定階的多項式，從而使得相應的小波函數具有同樣階的消失矩，于是這樣定義在閉區間上的小波仍能刻畫函數的正則性（或奇異性）。
這種區間小波盡管能精確地滿足邊界條件，但是它的一個致命的缺點是真正從數值上實現起來非常困難，并且補充的邊界小波依賴于邊界條件，即不同的問題就要重新構造一遍；另一個缺點是邊界小波函數的個數隨著內小波消失矩階數而變化。例如，若選取消失矩階數為N的Daubechies型內小波，則左、右邊界小波的個數分別為N和2N。2，所以構造起來非常麻煩。因此，在構造實際的解偏微分方程的小波逼近格式時，上述區間小波構造方法很少被采納。
1.2 精細積分法的發展及應用[62～87]
1.2.1 指數矩陣精細算法[62～65]
精細積分法（preciseintegrationmethod，PIM）是為了解決結構動力學計算問題而提出的。當前熟知的結構動力學時程積分算法包括Newmark法、Wilson-θ法、中心差分法等，都是差分類的算法。精細時程積分法是一種逐步時程積分的精細算法，其核心是對于指數函數exp（HΔt）的計算，其中H為給定矩陣。矩陣指數函?數應用廣泛，其計算被認為是計算數學中的一個較難的課題。精細積分算法放棄了通常的差分格式，通過2N運算的思想達到對指數矩陣的求解，算法簡單且計算精度很高，對于線性定常系統的解答達到了計算機字長范圍內幾乎是精確的數值解。近年來，該算法在計算動力學問題、最優控制問題以及偏微分方程中得到廣泛應用。
盡管指數矩陣的精細積分方法簡單實用，但效率和計算精度很高，文獻[64]，
[65]還是先后對其作了進一步的完善和發展。文獻[64]從Shannon采樣定理出發，
對該方法的參數選擇進行了優化，給出了N的簡單選擇公式，并指出實際誤差隨時
間線性增長。文獻[65]則通過改進PSSA（pade-scalingandsquaring-approxmiation）
方法，使之和PIM方法統一起來，在此基礎上改進了PIM方法，從而使用者在應用該方法進行實際問題分析時，可不必考慮時間步長的大小，同時還給定了其他參數的選取數表。
1.2 精細積分法的發展及應用5
……
1.2.2 精細積分法在非線性動力方程求解中的應用[68～72]
精細積分法在非線性問題中的應用已有了很大的發展。在非線性動力學問題的計算研究中，一直是解析法占主導地位，而直接的數值積分技術發展相對滯后。已有的一些數值計算方法（如攝動法、多尺度法等）的計算精度一直不能令人滿意，影響其計算精度的主要原因除了非線性方程的線性化精度外，還有線性化方程本身的計算精度問題。文獻[86]率先提出了一種非線性系統精細積分的方法，但未涉及時變參數系統的計算，其實質是將非線性項作非齊次項處理，即假定非齊次項在時間步（tk，tk+1）內是線性的，然后就可直接使用文獻[79]給出的非齊次結構動力方程的精細時程積分法求解。文獻[69]，[70]則在此基礎上向前推進了一步，考慮了H中含有時變參數的情況，敘述如下：
針對以下結構動力方程：
Mx¨+Gx +Kx=r（t），x（0）=α，x （0）=β，（1.2.1）
其中x為n維向量，M為質量矩陣（正定、對稱），G為阻尼矩陣（半正定、對稱）
和陀螺矩陣（反對稱）之和，K為剛度矩陣（半正定、對稱），r（t）為隨時間變化的載荷向量，α和β為已知的初始條件。在哈密頓體系下，根據哈密頓正則方程，可以將方程（1。2。1）化成如下一階常微分方程組：
ν =Hν+f，ν（0）=ν0，（1.2.2）
其中矩陣H為時間t和變量ν的函數。為了能使用精細積分法，對矩陣H作如下
分解：
H（t，ν）=H0+H1（t，ν），（1.2.3）
其中H0為常矩陣。將式（1.2.3）代入方程（1.2.2）有
ν =[H0+H1（t，ν）]ν+f≡H0ν+f.（t，ν）.（1.2.4）
……
以上過程的實質就是將方程的非線性部分轉化到載荷向量中。顯然，式（1.2.4）可以直接使用文獻[62]中的公式（20）～（24）求解。
文獻[72]給出的方法沒有轉移非線性部分，而是在[tk。1，tk]區間內認為H
（t，ν）=H（tk.1，νk.1）。該近似引起的誤差通過迭代法來校正，增大了計算工作量。
1.2.3 精細積分法在偏微分方程求解中的應用[78～87]
偏微分方程數值求解通常用有限差分法、有限元法和邊界元法等。對于拋物型或雙曲型方程的時間坐標，大多采用差分類方法求解。差分法的優點是在一個時間步長內，對于一個給定點來說，其相關的空間點只是與該點相鄰的幾點，而不是全部的空間點。也就是說，其對應的矩陣具有窄帶寬。有限元方法有同樣的優點。精細積分法則走向了另一個極端。求解偏微分方程不必對全部坐標都離散化，對于有時間坐標的定域問題，可以先對空間域用有限元或差分法離散，建立起對時間的常微分方程組，然后對常微分方程組采用精細積分法求解，這是一種半解析法。當空間離散后未知數非常多時，其計算工作量及存儲占用大量增加，這成為半解析法使用的障礙。差分法具有帶寬小的優點，但存在穩定性和計算精度方面的問題。為此，鐘萬勰提出了子域精細積分法[79，80]，對不太大的時間步長Δt精度損失不大。因此，子域精細積分法既可以利用精細積分的數值優點，又有帶寬小的好處，從而使精細積分法的應用成為可能。
文獻[83]針對熱傳導方程分析了子域精細積分的穩定性，證明了單點、二點、三點子域精細積分的蛙跳格式都是無條件穩定的，而對應的差分蛙跳格式則是不穩定的。文獻[86]給出了不同差分格式在單內點精細積分一般公式中的同一表達，并進行了數值計算，從計算結果中發現單內點精細積分法不如相應的最好的差分格式的計算精度高。因此，文獻[82]研究了六點精細積分法及多層精細積分法的截斷誤差及穩定性，提出了單內點精細積分的改進格式，精度較原格式有較大提高。
另外一種適合偏微分方程求解的精細積分方法是子結構精細積分方法[87]。根據子結構的概念，將結構分成若干個子結構，子結構間通過界面的物理量相聯系，然后對各子結構分別進行指數矩陣的計算，從而也可以大幅度降低指數矩陣的運算量和存儲量。該方法主要應用于子域選取比較困難的有限元方法。
以上算法均以熱傳導方程為例，沒有涉及非線性偏微分方程的求解。
1.2.4 精細積分法在結構隨機振動響應分析中的應用[73～77]
林家浩和張亞輝首先將精細積分方法和自己提出的虛擬激勵算法相結合，對受演變隨機激勵結構的非平穩隨機響應進行了分析[76]。該方法首先采用虛擬激勵法將這類結構問題轉化為受確定性載荷結構的動力分析初值問題，然后采用精細積分法進行求解。為了進一步提高計算效率，林家浩還針對一些常用的演變隨機激勵調制函數，推導了相應的精細時程積分格式，并對這些格式進行混合應用，從而對于快速交變的虛擬激勵仍可以取很大的時間步長而得到計算機精度的結構響應時變功率譜數值解。方法簡單，計算效率比傳統的方法有數量級的提高。
張森文和曹開彬針對線性系統的隨機振動提出了精細積分時域平均法[74]。所謂精細積分時域平均法，其基本思想就是利用響應的時域平均來計算響應的統計特征，而時域平均又是通過高精度的精細積分所求得，故稱為精細積分時域平均法。與傳統的其他離散積分方法，如隨機中心差分方法、隨機紐馬克差分方法等比較，本方法具有非常高的精度和計算效率，特別是能給出速度響應方差計算的良好結果。此外，他們還將李杰提出的隨機擴階系統方法和精細積分法相結合，……
1.1 偏微分方程的小波數值解法發展概況
偏微分方程數值解是計算數學最活躍的分支之一，應用最廣泛的數值方法是有限元方法（。niteelementmethod，FEM）、有限差分法等[1，2]。在處理非奇異偏微分方程（尤其是橢圓型和拋物型方程）方面，有限元方法可以說是盡善盡美了。但是對奇異情形卻有許多不盡人意之處。例如，在處理奇異情形的最常用方法――局部加密網格法，一般要預先知道解的奇異程度。
小波逼近作為一種求解偏微分方程的潛在的高效數值計算技術，已引起人們的廣泛關注[3～49]。由于小波同時在空域和頻域具有局部化特性，所以當求解在空間域和時間域具有劇烈變化甚至奇異性的問題時，采用小波方法似乎是理想選擇。從已有的文獻來看，用于偏微分方程求解的小波方法可以分為兩大類，一類不具有自適應性質，可稱之為單尺度或單層小波方法；另一類是自適應小波配置法。
1.1.1 偏微分方程的單層小波數值方法
采用小波逼近法求解偏微分方程時，較簡單的方法是直接將小波函數或小波函數對應的尺度函數作為試函數應用于傳統的有限元方法中[50～54]。由于小波函數具有緊支撐性，所以得到的有限元剛度矩陣是帶狀矩陣；如果采用的小波函數是正交小波（如Daubechies小波），則偏微分方程的小波有限元離散格式中的剛度矩陣是稀疏矩陣，從而使計算速度大大提高。對這種方法來說，小波的選擇非常重要。在20世紀90年代初期，大多數求解偏微分方程的小波逼近算法都是基于Daubechies小波的，Daubechies小波最大的優點是同時具有正交性和緊支撐性；其缺點是沒有解析表達式，其導函數同樣沒有解析表達式，并且求解過程非常復雜[53～57]，這就使小波方法很難應用于高階微分方程的求解中。因此，只有找到一種具有解析表達式同時又具有緊支撐特性的正交小波，這種方法才有意義。
由Wei提出的擬Shannon小波[58]雖然不是一種純粹意義上的小波，但它符合插值小波的定義，同時具備緊支撐性和正交性。文獻[59]用這種擬小波求解了方程的解具有很大梯度的一般Burgers方程和修正Burgers方程，計算結果顯示該小波對數值求解有局部急劇變化解的非線性偏微分方程問題有巨大潛力。
1.1.2 偏微分方程的自適應小波方法
自適應小波方法能充分發揮小波變換對信號突變識別的特性，在用自適應小波有限元求解偏微分方程時，可大大縮減有限元格式中剛度矩陣的規模，從而提高計算效率。因此，這種方法是目前研究的熱點。
在用小波數值方法求解偏微分方程時，無法直接使用信號處理中的小波快速變換方法。因此，設計自適應小波數值方法的關鍵是構造一離散小波變換（DWT），DWT將函數值映射到小波系數空間中去，以便通過最終的小波展開式插值得到函數值。此外，如何在不同大小的網格交界處找到一個穩定、精確的插值算子也是構造自適應算法的難點之一。有關這方面的論文有很多，其中比較有特色的是Cai[60]和Vasilyev[61]的工作。
Cai構造的小波變換是基于以下空間H02（I）中的三次樣條區間小波基[14]：
4
φ（x）=N4（x）=61..4j.（.1）j（x.j）3（1.1.1）
+，
j=0
φb（x）=3x211x3+3（x.1）33（x.2）3（1.1.2）
++，
2+.122+.4
其中φ（x）為尺度函數，φb（x）為邊界尺度函數。由于該尺度函數對應的小波具有以下點消失矩性質：
ψj，k（x（kj））=1，ψj，k（x（i））=0，.1.l.ni.2，i.0；1.l.L.1，i=.1，（1.1.3）
l
所以該DWT的計算時間復雜度僅為O（NlogN），其中N為未知變量的總數。偏微分方程中的非線性項在物理空間很容易被處理，而這些非線性項的導數在小波空間非常容易得到。因此，基于此變換構造的樣條小波配置法可以處理非線性問題和各種邊界條件。
Vasilyev[61]幾乎和Cai同時研究了另外一種求解偏微分方程的自適應小波配置方法，提出了處理一般邊界條件的兩種不同方法，這兩種方法都是基于目前研究的小波插值技術。第一種方法將小波用作基，從而產生了一個差分 代數方程組，其中部分代數方程是由邊界條件得出的；第二種方法則利用能夠精確滿足邊界條件的擴展小波，由該方法導出了一組二階差分方程，利用具有小黏滯系數的一維Burgers方程對該方法進行了驗證，并和由其他數值代數方法得到的數值結果進行了對比，結果表明該方法可和最好的數值代數方法相媲美。其小波變換是按以下方式定義的：
jj，ssj
c=.C，0.j.s.J，k∈ZΩ，（1.1.4）
kk，mum
m∈Zs
Ω
1.1偏微分方程的小波數值解法發展概況3
……
其中
j，s
j
（Ai，j）.1Δj，s，0.j.s.J，k∈Z
k，pp，m
（1.1.5）
，m∈Zs
Ω
Δj，ssj，jj
.i，mum=.Ai，kck，0.j.s.J，
m∈Zs
Ω
C
，
Ω
k，m
j
p∈Z
Ω
jΩ
（1.1.6）
i∈Z，
j
k∈Z
Ω
l，jjjΩ
l
l..0l，jJ，iZ，kZ∈∈Ω
（x），（1.1.7）
A
=ψ
，
ii，kk
.j..1sjJ，iZZ∈∈s，mΩ
Ω
Aj，j為由（1.1.7）和算子Δj，s定義的（2L.j+Nl+Nr+1）.（2L+j+Nl+Nr+1）
i，ki，m
維矩陣，算子Δj，s定義為
i，m
..
Rj，sPj，j.1i，m..i，p
j.1
Ω
Rj.1，sp，m
，，
Δj，si，m
（1.1.8）
=
p∈Z.0，s
.R
..0=00sjJ，iZZ∈∈s，m，Ω
Ω
l，j
式（1.1.8）中的限制算子Ri，m定義為
lj
l，j.1，xi=xm，Ri，m=0，其他.（1.1.9）
Vasilyev的工作是針對所有小波函數的，其通用性好。但從以上變換過程不難看出，這種方法的計算工作量是很大的，如何簡化計算是該方法需要考慮的問題。
1.1.3 小波數值方法中邊界條件的處理
在20世紀90年代初期，大多數求解偏微分方程的小波逼近算法都是基于Daubechies正交小波在整個實數域上對平方可積空間L2（R）的小波分解的。在求解有限區間上的初邊值問題時，其實采用的是零延拓的方法，這必然會帶來可怕的“邊緣效應”[36]，如端點的不連續性、導數不連續性等，使得在端點處，即使用了很精細的尺度，也會有較大的小波系數。因此，這種方法在解有限區間上的初邊值問題時帶來了不必要的大量計算，降低了計算效率。
周期小波法是將定義在整個實軸上的緊支撐Daubechies型小波或樣條型小波以閉區間長度為周期將它們周期化而得到一組周期小波。例如，Liandrat等[37]、Lazaar等[38]、Joly等[39]、Qian等[40]構造的小波算法都屬于這種情況。這種方法僅能處理周期邊界條件問題，對于更一般的任意邊界條件則無能為力。
區間小波法。1992年，Chui等[41]提出了樣條型區間小波的概念及其構造方法。同年，Meyer提出了Meyer型區間小波。1994年，Anderson等[42]引入了“WaveletProbing”的概念，從而構造出區間小波。同年，Daubechies[36]提出了Daubechies型i，m，區間小波的構造方法。這些小波在構造時必須滿足一定的邊界條件（邊界條件往往由相應的偏微分方程實際問題給出），其大致構造思路如下：從定義在整個實軸上的Daubechies型緊支集（或樣條型緊支集）小波函數ψ（x）及相應的尺度函數φ（x）出發，先保留那些支集本身就在閉區間內部的ψjk和φjk，然后補充閉區間兩端點處的尺度函數與小波函數（這些函數應仍具有伸縮結構，但不再具有平移結構），使得對于每個j.0，保留與補充的尺度函數共同生成的空間Vj應具有遞增性，因而
仍能構成一個多分辨分析（MRA）。同時使得保留與補充的尺度函數能生成一定階的多項式，從而使得相應的小波函數具有同樣階的消失矩，于是這樣定義在閉區間上的小波仍能刻畫函數的正則性（或奇異性）。
這種區間小波盡管能精確地滿足邊界條件，但是它的一個致命的缺點是真正從數值上實現起來非常困難，并且補充的邊界小波依賴于邊界條件，即不同的問題就要重新構造一遍；另一個缺點是邊界小波函數的個數隨著內小波消失矩階數而變化。例如，若選取消失矩階數為N的Daubechies型內小波，則左、右邊界小波的個數分別為N和2N。2，所以構造起來非常麻煩。因此，在構造實際的解偏微分方程的小波逼近格式時，上述區間小波構造方法很少被采納。
1.2 精細積分法的發展及應用[62～87]
1.2.1 指數矩陣精細算法[62～65]
精細積分法（preciseintegrationmethod，PIM）是為了解決結構動力學計算問題而提出的。當前熟知的結構動力學時程積分算法包括Newmark法、Wilson-θ法、中心差分法等，都是差分類的算法。精細時程積分法是一種逐步時程積分的精細算法，其核心是對于指數函數exp（HΔt）的計算，其中H為給定矩陣。矩陣指數函?數應用廣泛，其計算被認為是計算數學中的一個較難的課題。精細積分算法放棄了通常的差分格式，通過2N運算的思想達到對指數矩陣的求解，算法簡單且計算精度很高，對于線性定常系統的解答達到了計算機字長范圍內幾乎是精確的數值解。近年來，該算法在計算動力學問題、最優控制問題以及偏微分方程中得到廣泛應用。
盡管指數矩陣的精細積分方法簡單實用，但效率和計算精度很高，文獻[64]，
[65]還是先后對其作了進一步的完善和發展。文獻[64]從Shannon采樣定理出發，
對該方法的參數選擇進行了優化，給出了N的簡單選擇公式，并指出實際誤差隨時
間線性增長。文獻[65]則通過改進PSSA（pade-scalingandsquaring-approxmiation）
方法，使之和PIM方法統一起來，在此基礎上改進了PIM方法，從而使用者在應用該方法進行實際問題分析時，可不必考慮時間步長的大小，同時還給定了其他參數的選取數表。
1.2 精細積分法的發展及應用5
……
1.2.2 精細積分法在非線性動力方程求解中的應用[68～72]
精細積分法在非線性問題中的應用已有了很大的發展。在非線性動力學問題的計算研究中，一直是解析法占主導地位，而直接的數值積分技術發展相對滯后。已有的一些數值計算方法（如攝動法、多尺度法等）的計算精度一直不能令人滿意，影響其計算精度的主要原因除了非線性方程的線性化精度外，還有線性化方程本身的計算精度問題。文獻[86]率先提出了一種非線性系統精細積分的方法，但未涉及時變參數系統的計算，其實質是將非線性項作非齊次項處理，即假定非齊次項在時間步（tk，tk+1）內是線性的，然后就可直接使用文獻[79]給出的非齊次結構動力方程的精細時程積分法求解。文獻[69]，[70]則在此基礎上向前推進了一步，考慮了H中含有時變參數的情況，敘述如下：
針對以下結構動力方程：
Mx¨+Gx +Kx=r（t），x（0）=α，x （0）=β，（1.2.1）
其中x為n維向量，M為質量矩陣（正定、對稱），G為阻尼矩陣（半正定、對稱）
和陀螺矩陣（反對稱）之和，K為剛度矩陣（半正定、對稱），r（t）為隨時間變化的載荷向量，α和β為已知的初始條件。在哈密頓體系下，根據哈密頓正則方程，可以將方程（1。2。1）化成如下一階常微分方程組：
ν =Hν+f，ν（0）=ν0，（1.2.2）
其中矩陣H為時間t和變量ν的函數。為了能使用精細積分法，對矩陣H作如下
分解：
H（t，ν）=H0+H1（t，ν），（1.2.3）
其中H0為常矩陣。將式（1.2.3）代入方程（1.2.2）有
ν =[H0+H1（t，ν）]ν+f≡H0ν+f.（t，ν）.（1.2.4）
……
以上過程的實質就是將方程的非線性部分轉化到載荷向量中。顯然，式（1.2.4）可以直接使用文獻[62]中的公式（20）～（24）求解。
文獻[72]給出的方法沒有轉移非線性部分，而是在[tk。1，tk]區間內認為H
（t，ν）=H（tk.1，νk.1）。該近似引起的誤差通過迭代法來校正，增大了計算工作量。
1.2.3 精細積分法在偏微分方程求解中的應用[78～87]
偏微分方程數值求解通常用有限差分法、有限元法和邊界元法等。對于拋物型或雙曲型方程的時間坐標，大多采用差分類方法求解。差分法的優點是在一個時間步長內，對于一個給定點來說，其相關的空間點只是與該點相鄰的幾點，而不是全部的空間點。也就是說，其對應的矩陣具有窄帶寬。有限元方法有同樣的優點。精細積分法則走向了另一個極端。求解偏微分方程不必對全部坐標都離散化，對于有時間坐標的定域問題，可以先對空間域用有限元或差分法離散，建立起對時間的常微分方程組，然后對常微分方程組采用精細積分法求解，這是一種半解析法。當空間離散后未知數非常多時，其計算工作量及存儲占用大量增加，這成為半解析法使用的障礙。差分法具有帶寬小的優點，但存在穩定性和計算精度方面的問題。為此，鐘萬勰提出了子域精細積分法[79，80]，對不太大的時間步長Δt精度損失不大。因此，子域精細積分法既可以利用精細積分的數值優點，又有帶寬小的好處，從而使精細積分法的應用成為可能。
文獻[83]針對熱傳導方程分析了子域精細積分的穩定性，證明了單點、二點、三點子域精細積分的蛙跳格式都是無條件穩定的，而對應的差分蛙跳格式則是不穩定的。文獻[86]給出了不同差分格式在單內點精細積分一般公式中的同一表達，并進行了數值計算，從計算結果中發現單內點精細積分法不如相應的最好的差分格式的計算精度高。因此，文獻[82]研究了六點精細積分法及多層精細積分法的截斷誤差及穩定性，提出了單內點精細積分的改進格式，精度較原格式有較大提高。
另外一種適合偏微分方程求解的精細積分方法是子結構精細積分方法[87]。根據子結構的概念，將結構分成若干個子結構，子結構間通過界面的物理量相聯系，然后對各子結構分別進行指數矩陣的計算，從而也可以大幅度降低指數矩陣的運算量和存儲量。該方法主要應用于子域選取比較困難的有限元方法。
以上算法均以熱傳導方程為例，沒有涉及非線性偏微分方程的求解。
1.2.4 精細積分法在結構隨機振動響應分析中的應用[73～77]
林家浩和張亞輝首先將精細積分方法和自己提出的虛擬激勵算法相結合，對受演變隨機激勵結構的非平穩隨機響應進行了分析[76]。該方法首先采用虛擬激勵法將這類結構問題轉化為受確定性載荷結構的動力分析初值問題，然后采用精細積分法進行求解。為了進一步提高計算效率，林家浩還針對一些常用的演變隨機激勵調制函數，推導了相應的精細時程積分格式，并對這些格式進行混合應用，從而對于快速交變的虛擬激勵仍可以取很大的時間步長而得到計算機精度的結構響應時變功率譜數值解。方法簡單，計算效率比傳統的方法有數量級的提高。
張森文和曹開彬針對線性系統的隨機振動提出了精細積分時域平均法[74]。所謂精細積分時域平均法，其基本思想就是利用響應的時域平均來計算響應的統計特征，而時域平均又是通過高精度的精細積分所求得，故稱為精細積分時域平均法。與傳統的其他離散積分方法，如隨機中心差分方法、隨機紐馬克差分方法等比較，本方法具有非常高的精度和計算效率，特別是能給出速度響應方差計算的良好結果。此外，他們還將李杰提出的隨機擴階系統方法和精細積分法相結合，……
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