數值計算方法（簡體書）

《高等學校教材:數值計算方法》可作為高等學校理工科各專業本科生數值計算課程少學時（24～48學時）的教材或教學參考書，也可供工程技術人員參考。

第一章 緒論
1.1 科學計算的魅力
1.2 科學計算的內容
1.3 算法的評價與誤差
1.3.1 計算復雜性與收斂速度
1.3.2 誤差
1.3.3 減少誤差的途徑
1.4 小結
習題一
第二章 線性方程組的數值解法
2.1 Gauss消去法
2.1.1 三角形方程組的解法
2.1.2 Gauss消去法
2.1.3 列主元Gauss消去法
2.2 矩陣分解法
2.2.1 矩陣三角分解法
2.2.2 對稱正定矩陣分解法
2.3 向量范數與矩陣范數
2.4 經典迭代法
2.4.1 Jacobi迭代法
2.4.2 Gauss—Seidel迭代法
2.4.3 一般迭代法的收斂性
2.5 小結與提高
習題二
思考題與編程計算題
第三章 非線性方程(組)的數值解法
3.1 二分法
3.2 不動點迭代法
3.2.1 不動點與不動點迭代法
3.2.2 不動點迭代法的收斂性
3.3 Newton法
3.3.1 Newton迭代公式的構造
3.3.2 Newton法的收斂性與收斂速度
3.4 割線法
3.5 非線性方程組的迭代法
3.5.1 非線性方程組
3.5.2 求解非線性方程組的Newton法
53.6 小結與提高
習題三
思考題與編程計算題
第四章 多項式插值方法
4.1 引言
4.2 Lagrange插值多項式
4.2.1 線性插值與二次插值
4.2.2 Iagrange插值多項式
4.2.3 插值余項與誤差估計
4.3 Newton均差插值多項式
4.3.1 均差的定義與性質
4.3.2 Newton均差插值多項式
4.4 分段低次插值
4.4.1 Runge現象
4.4.2 分段低次插值
4.5 小結與提高
習題四
思考題與編程計算題
第五章 數值微分與數值積分
5.1 數值微分
5.1.1 差商型求導公式
5.1.2 插值型求導公式
5.2 數值積分
5.2.1 插值型求積公式
5.2.2 復化求積公式
5.2.3 Romberg積分法
5.3 小結與提高
習題五
思考題與編程計算題
第六章 常微分方程初值問題的數值解法
6.1 Euler法
6.1.1 引言
6.1.2 Euler公式，后退Euler公式與梯形公式
6.1.3 改進Euler公式
6.1.4 計算公式的誤差分析
6.2 Runge—Kutta法
6.2.1 Runge—Kutta法的主要思想
6.2.2 二階顯式R.K公式
6.2.3 四階顯式RK公式
6.2.4 Matlab ODE函數簡介
6.3 小結與提高
習題六
思考題與編程計算題
第七章 最小二乘問題
7.1 線性最小二乘問題
7.1.1 正交化方法
7.1.2 數據擬合
7.2 非線性最小二乘問題
7.2.1 Gauss.Newt：on法
7.2.2 LM法
7.3 小結與提高
習題七
思考題與編程計算題
第八章 矩陣特征值與特征向量的計算
8.1 引言
8.2 乘冪法
8.2.1 乘冪法
8.2.2 乘冪法的加速
8.3 逆冪法
8.4 小結與提高
習題八
思考題與編程計算題
參考文獻

4.5 小結與提高
所謂函數逼近實際上就是用簡單的、性質良好的函數代替復雜的或者無法用解析式所表示的函數。它是一個應用很廣泛的領域，可以說是數值計算方法中研究歷史最長的方向之一。函數逼近分為插值逼近和非插值逼近兩類，本書只介紹前者。插值逼近分為代數插值、有理插值、樣條插值三種，其共同特點就是插值函數在所選取點，即節點處和被逼近函數的值相等。顯然最容易想到的插值函數是代數多項式。
函數逼近的理論基礎是Weierstrass定理。Weierstrass第一定理是任何閉區間上的連續函數都可用多項式一致逼近，Weierstrass第二定理是任何閉區間上的連續函數都可用三角函數一致逼近。由于這兩個定理都屬于存在性定理，存在性理論不在計算方法研究范圍之內，故不作詳細介紹。
相信讀者對Runge現象印象深刻，它實際給插值方法提出了帶有挑戰性的問題，它表明并不是插值多項式的次數越高越好。實際上，嚴格的理論分析可知插值多項式序列的確是不收斂的，而且高階的插值還是不穩定的，這表明高階的多項式插值是無實用價值的。
實際上，分段或分塊函數（多維）用低次逼近的思想非常重要，這不僅解決了高次逼近步長短但不穩定的矛盾，而且也是許多現代算法的基本出發點。如樣條函數插值，特別是三次樣條插值，由于具有良好的收斂性和穩定性，且具有二階光滑度，因此不僅理論上重要，而且實際中也常用。三次樣條插值在當今的計算機圖形及其軟件中，有著十分重要的應用，詳細內容可見文獻[2]第4章。