數學與對稱（簡體書）
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對稱性是追蹤從古到今數學發展的一條重要線索，也是解開浩渺幽遠宇宙之謎的一把關鍵鑰匙。本專輯選登的幾篇文章，以通俗的語言介紹了：由柏拉圖、開普勒、牛頓和愛因斯坦先後創立的、不斷進化的物理模型中所蘊涵的宇宙對稱不變性思想；伽羅瓦的生平與成就，他為研究代數方程的根式解而創立的群論成為刻畫對稱性的理想工具；克萊因的生平和成就，他首次提出把幾何空間的分類歸結為不同群作用下的不變性；諾特定理把物理量的守恒性與李群作用的不變性聯繫起來，在此基礎上，外爾、楊振寧米爾斯創立了規範場論，它後發展成為宇宙的一個標準模型。本專輯還包括兩篇專稿，分別是著名數學家丘成桐教授關於“數學與生活之決策”的演講和他談論臺灣數學發展的采訪記錄。
此外，書中還登載了數學家坂內英一的自傳和安德魯 格利森的傳記。
序
對稱性是追蹤從古到今數學發展的一條重要線索，也是解開浩渺幽遠宇宙之謎的一把關鍵鑰匙。
古希臘哲學家柏拉圖（Plato，公元前427 — 前347）在《蒂邁歐篇》（Timaeus）中提出，宇宙是完美的，它由火、土、氣、水這四種元素整合而成；而這些元素又分別由四種完美的立體結構—— 正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體——產生；另一個完美立體結構——正十二面體—— 則被用作整體（動物體）的模型。這五種正多面體後來被稱為“柏拉圖多面體”，它們是三維空間中存在的正多面體結構。
大約兩千年以後，德國數學家、天文學家開普勒（J. Kepler，1571 —1630）為了證實其“上帝用幾何學設計宇宙”的信念，花了半生的精力和時間，試圖用柏拉圖多面體建立起行星環繞太陽運行的圓形軌道模型。後來通過整理丹麥天文學家第谷（Tycho Brahe，1546 — 1601）留下的大量天文觀測資料，開普勒才認識到，行星的運行軌道是橢圓而非正圓，並總結了著名的“行星運動三定律”。在此基礎上，英國數學家、物理學家牛頓（I. Newton，1643 — 1727）終於發現了萬有引力和物體運動的三定律。
從表面上看，由開普勒發現並且能從牛頓運動定律推出的行星橢圓運行軌道似乎破壞了柏拉圖所信奉的宇宙完美對稱性。但借助於“群論”這一強有力的數學工具，我們終究知道：柏拉圖多面體是在若干空間旋轉群作用下保持不變的對稱物體結構；而表示牛頓定律的微分方程在空間勻速平移群作用下保持不變。因此，牛頓定律反映了宇宙的物理性質在更深層次上的完美對稱性。從這一點上講，開普勒和牛頓依然繼承了柏拉圖的理念。
群論是19 世紀年輕的法國天才數學家伽羅瓦（. Galois，1811 — 1832）為解決代數方程的根式可解性問題而創立的。也許當時已經有人預見，伽羅瓦的工作將開啟數學發展的新時代；但是肯定沒人料到，群論作為刻畫事物對稱性質理想的工具，將幫助人類揭示從晶體形狀到時空結構多少宇宙奧秘！
1872 年，年僅23 歲的德國數學家克萊因（C. F. Klein，1849 — 1925）發表了著名的“埃爾蘭根綱領”（Erlangen Program）就職演說，首次提出根據不同的對稱變換群來區分不同的幾何空間。大約在同時，挪威數學家李（M.S. Lie，1842 — 1899）創立了連續對稱變換群理論，後被稱作“李群”。從此，對“群變換下保持對稱（不變）性”的關注，逐漸成為現代幾何和理論物理研究的主旋律。
英國數學物理學家麥克斯韋（J. C. Maxwell，1831 — 1879）在1865 年發表的《電磁場的動力學理論》論文中，首次寫出了電磁場方程，其重要意義堪比牛頓力學方程。但是，麥克斯韋方程並不具有牛頓方程所具有的空間勻速平移變換下的對稱性。這反映了這樣一個物理現象：靜止的電荷只產生電場，勻速運動的電荷只產生磁場；而電荷究竟是靜止還是在勻速運動，實際上僅取決於觀察者相對於它的運動狀態。針對這種現象，年輕的愛因斯坦（A.Einstein，1879 — 1955）在1905 年發表的《論動體的電動力學》論文中提出，電磁場方程應該與力學方程具有相同的坐標變換不變性；進而假設：所有相對勻速運動的物理坐標系都是等效的。他因此創立了狹義相對論，從中得出“物體質量隨運動速度增加而增大”、“質量和能量可相互轉換”以及“光速是極限速度”等看似完全違背人們的經驗和直覺的結論。令人驚訝的是，這些結論後來竟都得到了實驗的證實。1915 年，愛因斯坦又根據“所有相對加速運動的物理坐標系也都是等效的”假設，創立了廣義相對論；其中關於“引力使空間彎曲”的不可思議結論，同樣得到了實際驗證。相對論的成功表明，宇宙所具有的完美對稱性，甚至超出了人們傳統的經驗和想象力！
精彩的故事，還只是剛剛開始。
相對論的建立借助於黎曼幾何和李群等數學工具，同時反過來刺激了這些數學理論的迅速發展。不僅如此，許多優秀數學家也被吸引到理論物理領域。德國著名女數學家諾特（A. E. Noether，1882 — 1935）在1915 年證明的定理（後被稱為諾特定理），把物理系統的李群變換不變性（對稱性）與物理守恒定律聯繫在一起。德國大數學家外爾（C. H. H. Weyl，1885 — 1955）經過十年探索，終於成功地利用薛定諤方程在U(1) 李群相位變換下的規範不變性，重建了電磁場理論；而根據諾特定理，這種規範不變性對應於電荷守恒性。
1954 年，年輕的華裔物理學家楊振寧（1922 — ）與美國人米爾斯（R.Mills，1927 — 1999）合作，創立了SU(2) 規範場理論，試圖解釋質子中子的同位旋守恒性。楊振寧米爾斯規範場論在開始時，曾陷於無法說明粒子質量來源的困境。直到1964 年，英國物理學家希格斯（P. Higgs，1929 — ）引入巧妙的機制，成功地使粒子獲得質量。從此，各種規範場論迅速發展，成為解釋宇宙作用力的標準模型，其中：SU(2) U(1) 規範場成功統一了弱力和電磁力作用；SU(3) 規範場描述了強力作用。有十多位物理學家因此榮獲諾貝爾物理學獎。特別地，因為在1912 年發現了“希格斯粒子”（又稱“上帝粒子”），完成了規範場標準模型中後一塊拼圖，希格斯榮獲2013 年的諾貝爾物理學獎。
目前，物理學家正在研究一個能夠包含引力的宇宙大統一理論—— 弦論，這其實是一個十維空間的規範場理論。我們正期待他們以及未來的數學家和物理學家，續寫關於宇宙對稱性的更精彩的故事！
目次
1 談數學與生活之決策（丘成桐）
13 人物專訪—— 丘成桐教授（王金龍，林松山，張鎮華）
數學與對稱
35 對稱的追求—— 從柏拉圖到牛頓（楊 靜，夏伶莉）
44 伽羅瓦與群論的創立（田廷彥）
57 21 世紀讀者眼中的伽羅瓦（Harold M. Edwards，譯者：王 濤，鄧 碩）
77 Felix Klein: 他的生平和數學（季理真，譯者：趙振江，王麗萍）
105 相對論促進數學研究（Hermann Weyl，譯者：林開亮）
115 對稱性、規範場與諾貝爾物理學獎（王善平）
123 統一、超弦、幾何（何楊輝）
數學人
130 虞美人（丘成桐）
131 一個數學人的感想（坂內英一，譯者：吳耀琨，余 敏）
142 安德魯M. 格利森1921 — 2008（上）（Ethan D. Bolker 組編，譯者：林 磊）
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