分支與混沌在二維動力學模型中的應用（簡體書）

動力系統在數學上是描述幾何空間中的點隨時間變化的情況，是研究系統的狀態隨著時間發展而演化規律的學科，對於給定的時間間隔內，從現在的狀態演化出一個未來的狀態。動力系統也是常微分方程理論的進一步發展，是非線性科學的重要組成部分，是目前學科交叉最為活躍的領域之一，已在數學、統計學、電子學、經濟學、資訊與計算科學等領域得到了廣泛的應用。動力系統更是科學研究的一個熱點，吸引著全世界很多數學家、物理學家及工程學家等加入這一領域的研究中，他們不管在理論方面，還是在應用方面，都取得了重要的研究成果，這些成果反過來又極大地推動了動力系統的發展。歷史上，關於動力系統的研究，最早可追溯到Poincaré在19世紀研究天體力學時，之後Lyapunov、Birkhoff、Andronov等數學家進一步拓展了動力系統的內容。科學家專注于動力系統的研究工作分成２個階段：1960年以前和1960年以後。１９６０年以前，人們主要研究一些規則運動，如諧波運動、（超）次諧波運動、極限環等；１９６０年以後，側重點為非規則運動，如擬週期運動、分支、混沌等。特別是１９６０—１９７０年，動力系統理論基本形成，成為一門非常重要的前沿學科，對非線性學科發展起到了促進作用。到２０世紀８０年代左右，逐漸變得完整，它的理論體系包括分支、混沌和分形。近20年來，動力系統的研究又產生了質的變化，分支理論與混沌理論不斷被完善和補充，無論是在理論還是應用方面，都取得了極大的進步，更多的人開始加入這個領域的研究中。筆者這幾年主要也是從事分支與混沌理論工作的研究，把分支與混沌理論應用到具體的數學模型中，得到了一些研究結果，希望這些結果能對剛進入這個領域的高年級本科生及研究生起到一些輔助作用。
本書主要是應用動力系統分支和混沌理論中的方法，分析2類連續和離散的二維動力系統的分支與混沌情況。有利於加深數學專業的高年級本科生與研究生對動力系統分支理論的理解與應用，為將來從事這方面研究的學生提供一個學習借鑒的機會。具體地說，本書主要詳細分析了一個連續的帶參數激勵的Josephson系統和一個離散的Tinkerbell映射的分支及混沌情況，同時簡要介紹了一些通向混沌的道路。全書共分為6章。第1章，介紹本書的研究背景及現狀、研究內容、方法和意義。第2章，預備知識，簡單介紹連續和離散動力系統的分支與混沌，包括中心流形定理、二階平均方法、Melnikov方法、混沌的定義與特徵、分形維數及通向混沌的道路。第3章，應用Melnikov方法給出帶參數激勵的Josephson系統：=-α(cosx+2kcos2x)-sinx-ksin2x+β+fcosxcosωt。在週期擾動下產生混沌的條件，並且通過數值模擬驗證理論分析結果和系統參數對動力學性質的影響，發現更複雜的動態。第4章，分析上述帶參數激勵的Josephson系統的週期解分支。應用二階平均方法和次諧波Melnikov函數，分析系統在未擾動中心附近的諧波解、(2,3,n-階)次諧波解和(2,3-階)超諧波解的存在性和分支，並用數值類比驗證理論結果和發現新的動態。第5章，研究Tinkerbell映射xn+1=x2n-y2n+axn+byn yn+1=2xnyn+cxn+dyn的動力學行為。主要包括應用中心流形定理和分支理論導出Fold分支、Flip分支和Hopf分支的存在條件及Marotto意義下的混沌的存在條件。同時，通過數值模擬驗證所得到的理論結果及觀察新的有趣動力學性質。第6章，介紹本書中所觀察到的通往混沌的道路。