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《非線性分析（第二版）》是一本非線性分析方面的基礎理論教材，內容包括拓撲度理論及其應用、凸分析與優化、單調算子理論、變分與臨界點理論、分支理論簡介。《非線性分析（第二版）》重視問題背景，理論闡述簡明易懂，內容精心選取，每章後配有適量習題，便於讀者閱讀和鞏固。
目次
目錄
第二版前言
第一版前言
第0章 預備知識 1
0.1 Banach空間與Hilbert空間 1
0.2 仿緊空間與單位分解 6
0.3 廣義導數與Sobolev空間 7
0.4 關於拉普拉斯算子-△的性質 11
0.5 橢圓型方程的正則化理論 15
0.6 Bochner可積與向量值分布 18
習題 27
第1章 拓撲度 28
1.1 可微映射 29
1.2 反函數與隱函數定理 35
1.3 有窮維空間的拓撲度 38
1.4 Brouwer度的性質及應用 46
1.5 窮維空間的拓撲度 53
習題 61
第2章 凸分析與優化 63
2.1 凸函數的連續性和可微性 63
2.2 凸函數的共軛函數 67
2.3 Yosida逼近 70
2.4 極大極小定理 75
2.5 集值映射的零點存在定理及其應用 81
2.6 局部Lipschitz函數 85
習題 91
第3章 Hilbert空間的單調算子理論 92
3.1 單值單調算子 92
3.2 集值映射 99
3.3 集值的單調算子理論 108
習題 117
第4章 變分原理 119
4.1 經典變分原理 119
4.2 變分原理的應用 128
4.3 Ekeland變分原理 137
習題 142
第5章 臨界點理論 144
5.1 偽梯度向量場和形變原理 144
5.2 極小極大原理 153
5.3 環繞 161
5.4 Ljusternik-Schnirelmann臨界點理論 166
習題 170
第6章 分支理論 173
6.1 Lyapunov-Schmidt約化 173
6.2 Morse引理 176
6.3 Crandall-Rabinowitz分支理論 181
習題 190
參考文獻 192
第二版前言
第一版前言
第0章 預備知識 1
0.1 Banach空間與Hilbert空間 1
0.2 仿緊空間與單位分解 6
0.3 廣義導數與Sobolev空間 7
0.4 關於拉普拉斯算子-△的性質 11
0.5 橢圓型方程的正則化理論 15
0.6 Bochner可積與向量值分布 18
習題 27
第1章 拓撲度 28
1.1 可微映射 29
1.2 反函數與隱函數定理 35
1.3 有窮維空間的拓撲度 38
1.4 Brouwer度的性質及應用 46
1.5 窮維空間的拓撲度 53
習題 61
第2章 凸分析與優化 63
2.1 凸函數的連續性和可微性 63
2.2 凸函數的共軛函數 67
2.3 Yosida逼近 70
2.4 極大極小定理 75
2.5 集值映射的零點存在定理及其應用 81
2.6 局部Lipschitz函數 85
習題 91
第3章 Hilbert空間的單調算子理論 92
3.1 單值單調算子 92
3.2 集值映射 99
3.3 集值的單調算子理論 108
習題 117
第4章 變分原理 119
4.1 經典變分原理 119
4.2 變分原理的應用 128
4.3 Ekeland變分原理 137
習題 142
第5章 臨界點理論 144
5.1 偽梯度向量場和形變原理 144
5.2 極小極大原理 153
5.3 環繞 161
5.4 Ljusternik-Schnirelmann臨界點理論 166
習題 170
第6章 分支理論 173
6.1 Lyapunov-Schmidt約化 173
6.2 Morse引理 176
6.3 Crandall-Rabinowitz分支理論 181
習題 190
參考文獻 192
書摘/試閱
第0章 預備知識
本章的目的是為以後各章的學習提供簡要的知識準備，內容包括線性泛函分析、拓撲、Sobolev空間、二階橢圓型方程及抽象函數積分的相關基礎理論。
0.1 Banach空間與Hilbert空間
設X表示數域K上的一個線性空間，K為實數域或復數域。稱為X上的一個範數，如果滿足
（1）
（2）
（3）
此時X按範數成為一個賦範線性空間；稱依範數收斂於x，是指。稱為Cauchy列，是指。
定義0.1.1 稱賦範線性空間X是Banach空間，是指X中每個Cauchy列都是收斂的；換言之，完備的賦範線性空間稱為Banach空間。
稱為X上的連續線性泛函，是指
（1）
（2）
記X*表示X上連續線性泛函的全體，則X*構成一個線性空間，定義範數為
此時，X*構成一個賦範線性空間，而且是Banach空間；X*稱為X的共軛空間。
定理0.1.1 （Hahn-Banach定理）設X是賦範線性空間，X0表示X的線性子空間，f0是X0上定義的連續線性泛函，則存在X上的連續線性泛函f滿足：
……
本章的目的是為以後各章的學習提供簡要的知識準備，內容包括線性泛函分析、拓撲、Sobolev空間、二階橢圓型方程及抽象函數積分的相關基礎理論。
0.1 Banach空間與Hilbert空間
設X表示數域K上的一個線性空間，K為實數域或復數域。稱為X上的一個範數，如果滿足
（1）
（2）
（3）
此時X按範數成為一個賦範線性空間；稱依範數收斂於x，是指。稱為Cauchy列，是指。
定義0.1.1 稱賦範線性空間X是Banach空間，是指X中每個Cauchy列都是收斂的；換言之，完備的賦範線性空間稱為Banach空間。
稱為X上的連續線性泛函，是指
（1）
（2）
記X*表示X上連續線性泛函的全體，則X*構成一個線性空間，定義範數為
此時，X*構成一個賦範線性空間，而且是Banach空間；X*稱為X的共軛空間。
定理0.1.1 （Hahn-Banach定理）設X是賦範線性空間，X0表示X的線性子空間，f0是X0上定義的連續線性泛函，則存在X上的連續線性泛函f滿足：
……
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