高觀點下的初等數學(全3冊)（簡體書）

《高觀點下的初等數學》是具有世界影響的數學教育經典，由菲利克斯·克萊因根據自己在哥廷根大學為中學數學教師及學生開設的講座所撰寫，書中充滿了他對數學教育的洞見，生動地展示了一流大師的風采。本書出版後被譯成多種文字，影響至今不衰， 對我國數學教育工作者和數學研習者很有啟發。

《高觀點下的初等數學》共分為三卷――第一卷“算術、代數、分析”，第二卷“幾何”，第三卷“準確數學與近似數學”。

菲利克斯·克萊因
（Felix Klein，1849―1925）：
德國傑出的數學家、數學史家和數學教育家，現代國際數學教育的奠基人，對數學研究和數學教育產生了巨大影響，在數學界享有崇高的聲望。
克萊因早年在群論、複變函數論和非歐幾何等領域取得了卓越的成就，1872年發表的埃爾朗根綱領是幾何學劃時代的貢獻。他是哥廷根學派公認的領袖，將許多頂尖人才吸引到哥廷根大學，創造了科學研究的輝煌，為推動德國現代化發揮了巨大的作用。

這套被譽為“數學教育的聖經”的著作，是偉大的數學教育家、哥廷根數學學派領袖的不朽經典，值得每一位數學教師精心研讀。菲利克斯·克萊因是傑出的數學家、熱忱的愛國者，具有非凡的科學洞見、天才的組織能力，中國尤其缺少這樣的人物。

博洽內容 獨特風格
――《高觀點下的初等數學》導讀

吳大任


（一）書和作者簡介

德國數學家F.克萊因的名著《高觀點下的初等數學》（以下簡稱《初等數學》）已由舒湘芹等同志譯就，將由湖北教育出版社出版。“初等數學”指當時德國中小學的數學，難度比我國中小學數學略高。本書曾由湖北教育出版社於20世紀90年代初出版。――編者中譯本出版，必將受到我國中青年教師和廣大數學工作者的歡迎，對我國各級學校的數學教育也將產生巨大作用。
F.克萊因（1849―1925）是有深遠影響的數學家。他的貢獻遍及幾何、代數、函數論、理論物理以及數學史等，在這些領域，他都留下了經典性著作。他是權威性的德國《數學百科全書》的主創者之一，曾任最高水平的德國《數學年刊》的主編，致力於這兩項事業達四十春秋。他熱誠地獻身於數學教育及其改革，是促進數學教育國際委員會創始人之一，並始終積極參與其中的活動。他著述《初等數學》這樣的書，真可謂出色當行，遊刃有餘，得心應手。這書內容十分博洽，而論述生動活潑，不拘一格，把嚴謹性和直觀性巧妙結合，深入淺出，使讀者有舉重若輕、左右逢源之感。
《初等數學》由F.克萊因的助手根據他在哥廷根大學講課內容整理而成，分上下兩卷。上卷“算術 代數 分析”（第三版）於1924年出版；下卷“幾何”於1925年出版；英譯本於1939年出版。本書最終版共三卷，可參看本卷第三版序及第三卷譯者的話、第三版序。――編者60多年過去，數學面貌已有很大變化，我國目前的數學教育和德國當年也有很大差異。我們閱讀這書時，對此必須注意。儘管如此，我們讀來，對其內容和觀點，仍然感到十分親切。這是因為，其內容主要是基礎數學，其觀點蘊含著真理。當時德國數學教育中的不少問題，在今日我國仍然存在。克萊因聲稱本書是為中學教師和成熟的大學生寫的，但按其內容，所有對數學有一定瞭解的人都可以從中獲得教益和啟發。
數學科學的整體性和數學教育的連續性
要想用一兩句話來概括《初等數學》這本豐富多彩的書的特色，是困難的。也許可以說：它所展示的數學科學，是一個不斷發展著的有機整體；克萊因所設計的數學教育，是一個隨著數學發展而不斷更新的連續過程。正如書名《高觀點下的初等數學》所示，書的著眼點是初等數學，觀點卻是高等數學。數學各個分支，特別是數學兩個基本對象――形與數結合起來了。講算術、代數、分析時，總是充分運用豐富的幾何圖像。而講幾何時，用的是代數工具，又不乏幾何語言。它還以大量篇幅闡述數學的各種概念和方法的發展與完善過程以及數學教育演化的經過。這些進程還在繼續。
以下試對《初等數學》的若干具體特色作些介紹。

（二）《初等數學》若干特色

高觀點
在《初等數學》的前言中，克萊因指出大學和中學數學教育的“雙脫節”現象：大學生感到，他正在學的東西和中學學過的無關，而當他們到中學任教時，大學所學的用不上，因而那些內容就只存在於美好的記憶中。本書的直接目的自然是要改變這種不合理現象，以便把數學的新進展中所產生的新觀念滲入中學數學教育中，按我們現在的說法，就是使數學教育“現代化”。
克萊因所採用的書名表明，他認為教師應具備較高的數學觀點。理由是，觀點越高，事物越顯得簡單。例如在實數域裡不好理解的某些東西，從複數域的觀點看，就清楚了；在歐氏空間裡某些不好解釋的現象，從射影空間的觀點看，就有滿意的說明。下面分別舉兩個具體的例子。
克萊因指出，在中學，關於對數的傳統講法是有明顯漏洞的。他建議把對數函數作為等角雙曲線下的面積來引進，既簡單又明確。他又指出，在複數域裡，對數是多值函數，作為實函數的對數只是其中無數多個值之一。所以，在複數域裡，對數函數的本質才看得清楚。我們的教師，無論是否願意（或可能）採納克萊因所建議的引進對數方式，有一點是可以肯定的：如果他瞭解作為複數的對數函數，當他講實數時，就會心中有數，有可能彌補漏洞，至少當學生提出疑問時，他能正確回答，應付裕如。
通過變換群來闡明不同幾何的本質及其相互關係，本是克萊因的偉大創見之一。《初等數學》用了很大篇幅來論述歐氏幾何、仿射幾何和射影幾何的關係。我認為，中學幾何是歐氏幾何，但也涉及圖形的仿射性質（如三角形的重心）和射影性質（如三點共線）。如果教師能區別各種性質，在教學中自然是有利的。克萊因舉了一個例子來說明局限在歐氏空間就不好理解的現象：兩個二階曲面一般相交於一條四階曲線，但兩個球面（二階曲面）一般只相交於一個（實的或虛的）圓（二階曲線）。原來，從射影空間觀點看，可以認為，兩個球面還相交於“無窮遠虛圓”，而兩個圓在一起，恰好構成一條（退化的）四階曲線。
教師應是多面手
克萊因對教師的要求是很高的。《初等數學》涉及的面很廣。除正文4大部分外，還有兩個附錄：“數e和π的超越性”和“集合論”。每一大部分的寫法和通常寫法都很不相同，且其內容有不少超出通常寫法的習慣範圍。例如在“算術”部分寫了四元數；在“幾何”部分寫了高維（以至無窮維）空間，並且隨時講到歷史和應用。顯然，克萊因認為，教師對這些都應當掌握或瞭解。他認為，大學生學到的具體東西不少，而許多重要的，以及在中學任教中用得著的東西卻往往被忽視了。《初等數學》就著眼於彌補這些缺憾，揭示數學各部分之間的聯繫，指出它們的共性，它們產生與成長的內因、外因和過程以及它們的應用，等等。克萊因認為，教師掌握的知識要比他所教的多得多，才能引導學生繞過懸岩，渡過險灘。他喜歡用“融合”這個詞。《初等數學》也確實體現了初等數學同高等數學的融合，數學各部分的融合，幾何觀念和算術觀念在這裡以及許多其他地方，“算術”是廣義的，用來表示純幾何的對立面，包括代數和分析。的融合，感性與理性的融合（甚至一維、二維、三維空間的融合），等等。可以認為，全書是以上各種融合的融合。強調這一切，是為了使大學生和教師對數學有較全面的觀點，有較高的修養。
數學發展的歷史
克萊因反復強調的一個教育原則是按照學生的認知規律（包括年齡及成熟程度）進行教學。具體地說，要由簡單到複雜，由低到高，由感性到理性等。他講數學歷史，是因為，他認為學生對數學的認識，在某種意義上，是與人類對數學認知的歷史過程相應的。當然，這絕不是說，學生的認知要重複歷史上人類的認知。
在講述數學的歷史時，克萊因強調對事物認識深化的必然性（這不排除偶然性）。某些新概念的出現，是由於客觀條件已經成熟而非產生不可。例如他指出，負數和複數的出現，是不以數學家的意志為轉移的。非歐幾何產生後，許多數學家是被迫承認它的。微積分由粗糙到嚴格，有著艱辛的歷程。函數概念和幾何對象範疇等的演化，都有過漫長的過程。我以為，瞭解一些歷史是很有意義的；我們的課程往往分別構成首尾完整的邏輯體系。學生在學習中很難充分領會到數學是如何逐步成長起來，它又將如何繼續發展。
公理體系
《初等數學》多處談到公理體系，特別是關於數的公理和幾何公理。克萊因認為，公理不能脫離直覺，不能排除人對客觀事物的認識。因而反對那樣一種觀點：認為公理可以隨心所欲地選取，只要它們彼此相容，即不產生矛盾就可以了。他還認為，不能按照公理體系進行教學。因為這首先不符合學生的認識規律。邏輯不是數學教學中的唯一指導思想。此外，他還有一個更深刻的理由。他把數學比作一棵樹，公理比作樹的根，當樹逐漸長大時，軀幹和枝葉向上長，同時根也向下長。因此既沒有最後的終點，也沒有最初的始點，即沒有進行教學的絕對基礎。至於教師，之所以要瞭解公理對數學的作用和意義，則是和他對教師的要求一致的；公理體系在數學作為一個演繹的邏輯結構中，畢竟佔有極其重要的地位，不瞭解它就不能瞭解數學的本質和全貌。而在教學中，教師固然要考慮大多數學生的興趣和接受能力，同時他又應能滿足一些才華出眾的學生的求知欲望，適當地回答他們可能提出的問題。
尺規作圖和費馬大定理
這兩個問題在《初等數學》中並不占重要位置，但克萊因對它們的幾句精闢議論，卻可以用來作為對我們許多青少年學生和業餘數學愛好者的忠告。《初等數學》較詳細地討論了用圓規和直尺作圖問題。在談到三等分角問題即只用直尺和圓規把一個任意給定的角分為三等分的問題，是所謂“幾何三大問題”之一，另外兩個問題是“化圓為方”和“倍立方”。它們是古老的課題，但早已證明都是不可能的。化圓為方問題同圓周率的超越性有關，其他兩問題之不可能是用算術方法來證明的。時，克萊因指出：許多人拿出自己的“解法”，希望別人指出錯誤所在，但他們的知識基本上限於初等幾何，又不肯去瞭解利用算術方法早已作出的不可能性證明。為了使讀者對這種算術證明有所瞭解，以便當他們接到送來的“解法”時，能站穩腳跟，他給出了用直尺和圓規不可能作正七邊形的證明。
費馬大定理最近幾年才有了重大突破，但尚未最後解決。費馬大定理已由英國數學家安德魯·懷爾斯於1994年證明。――編者《初等數學》對這個“定理”的含義有個十分有趣的圖解，對它的歷史直到克萊因時代的研究狀況有簡明的介紹。克萊因指出，自從1907年人們獲悉解答這問題（即證明或否定費馬大定理）的人會得到高額獎金後，就出現了大量的“證明”。這些人屬￿各行各業，但他們有一個共同點：完全不瞭解探索這個問題所遇到的嚴重數學困難，也不想去瞭解困難所在，只妄想靠突發的靈感就一下子加以解決。他們的結果當然是毫無意義的。

（三）對我們的啟發

以上對《初等數學》的管窺蠡測，不求全面，但求無大錯，可告無罪于該書作者和本文讀者。下面結合我國現狀，談幾點個人淺見，統請高明指教。
中學數學教師的提高方向
許多統計數字表明，我國中小學教師中有很大百分比沒有達到教育領導部門所規定的最低業務標準。這裡不談這些現象存在的根本原因（如教育投資長期太少，教師待遇過低），只談教師提高的方向。我以為，拓廣教師的知識領域，提高他們的教學修養，是當務之急。為此，一個非常重要的策略是，必須把教師從“題海”中解脫出來。不少教師抱怨，經常要花大量時間和精力去搜集習題，把解題方法分類，編寫習題解答，等等，根本顧不上進修。而不那樣做，四面八方又不諒解。教師的這種苦衷，瞭解的人恐怕不多。事實上，“題海戰術”對廣大學生也是利少弊多。用各種方式幫助現有中小學教師提高，高等學校有責任，也有餘力。在中小學教師大半已達到規定標準後，這個標準還應有所提高。
初等數學教育現代化問題
若干年前，許多國家進行過數學教育現代化的研究和試驗。現在談論它的人似乎少些了。我以為，問題不在於要不要現代化，而在於如何現代化。有一條原則是必須堅持的，即要按學生的認識規律進行教學。用現代數學知識武裝中學教師，是初等數學教育現代化的前提。
大學數學系的任務
師範院校要面向中學的原則已經定下來了，“向綜合大學看齊”的傾向也已經改過來。其實，我以為，師範院校只要注意保持“師範”特色，綜合大學數學系的課，師範院校也可以開設。我說的是“可以”，不是“全部必須”。因為中學教師掌握這些課的內容有好處。至於綜合大學數學系畢業生也可以（甚至必須）有一定比例到中學任教。那種認為綜合大學畢業生到中學教書是“大材小用”的說法，是站不住腳的。為什麼大學生和研究生報名當旅館服務員就不算“大材小用”？在許多國家，師範院校以外的大學畢業生還要通過教育課程的考試才能取得中學教師的資格呢。可見問題的根本在於教師的待遇。
大學數學教育的改革
大學數學教育也大有改革餘地。例如必修課分量偏重，“上層建築”要求偏高，基礎不全不牢等，都不利於人才的健康成長；在大量招收研究生後更是如此。在這裡，我只著重談談幾何形象問題。許多數學大師都強調形與數的統一。希爾伯特說過：“算術記號是寫下來的圖形，幾何圖形是畫下來的公式。”克萊因認為，幾何基礎可能要以算術為起點，卻不能脫離幾何直觀；而且他講算術問題時，總要結合幾何圖像。他們的觀點是完全一致的。問題是，在我們的高等數學教育中，幾何形象被嚴重忽視了。作為基礎課的解析幾何已不能保持最低限度的分量。許多代數和分析課強調自我演繹體系，從邏輯和審美觀點看很好，缺點是形與數固有的內在聯繫割斷了。純幾何的演繹體系似乎已逐漸成為歷史，為幾何、算術、代數所取代，但也不能因此而拋棄幾何直覺。另一個問題是，我們很少對學生介紹數學發展的歷史。在這兩方面，我認為綜合大學有不少地方可以向師範院校學習。我們並不需要在綜合大學數學專業恢復50年代作為必修課的幾何基礎和數學史，但可以通過改革教學內容和方法來達到加強幾何形象的目的。當然，這涉及教師的培養與提高問題。
善於數學的“熱門課題”
在我國青少年學生和業餘數學愛好者中，“幾何三大問題”（主要是三等分角問題）和費馬大定理（以及哥德巴赫問題）都是（或曾經是）“熱門課題”，但他們“研究”的質量似乎比克萊因時代的德國還低。其實前者已證明為不可能，後者即使在數學界也只是“熱門話題”而不是“熱門課題”。它們在我國某些人中之所以成為“熱門”，部分原因是他們片面理解“解放思想”，更重要的是我們宣傳教育不夠，我們希望教師們能做這些人的工作。對於執著要搞這兩類問題的人，在肯定其精神可嘉之餘，要教育他們尊重科學，實事求是，適當地向他們“潑冷水”；鼓勵學生打好基礎，鼓勵業餘數學愛好者把精力和時間用於更能發揮自己專長的地方。
一點希望
希望我國有更多人像克萊因那樣關心數學教師的培養與提高，關心數學教育改革，並為此做些實事。《初等數學》中譯版的現實意義就在於，它將促進這兩方面工作的進程。但是德文本出版已過了64年，英譯本出版也過了50年。現代數學已發生了極大變化，新成果、新概念、新觀點、新學科層出不窮。但是數學的本質與真理是永恆的，像克萊因那樣探索數學教育的規律，當是一以貫之的。我們熱切希望我國高水平的數學多面手寫出更結合我國實際的、現代化的《高觀點下的初等數學》。這樣一本書出版，將是我國數學教育史上的一件大事。



1989年6月于南開大學