上帝擲骰子嗎？：混沌之新數學(新版)(精)（簡體書）

我很高興獲悉，上海交通大學出版社即將出版《上帝擲骰子嗎？》第二版的中文版。自從本書第一版撰寫以來，確定性混沌的概念——沒有明顯無規則性的系統在其數學描述中呈現貌似無規則的行為——在越來越多的科學應用中變得重要。
混沌所屬的更為一般的理論，它不能與之分離的理論，是非線性動力學。這個學科包括規則的行為和模式，也包括混沌的不規則性，它對科學研究的影響日益廣泛。《自然》和《科學》等頂級刊物經常發表利用混沌（或非線性動力學的某些其他領域）幫助理解天文學、生物學、生態學或神經科學中的問題的論文。混沌概念已經成為科學工具箱的標準組成部分。假如我再寫本書的第三版，有許多豐富的新材料可以選用。
我認為，混沌是20世紀偉大的數學發現之一，它將在21世紀繼續得到發展。混沌出現於許多科學領域和數學領域，運用從實驗和計算機仿真到微分方程和代數拓撲學的多種方法的一批人在貌似無關的研究中。過去50年間，這些分離的研究分支匯集起來，對自然界許多的不規則性提供了新的、顯著的理解。科學家和數學家得知，簡單的、有結構的規則可以（並且往往）導致複雜的、不規則的行為。令人感到矛盾的是，這也意味著，在貌似無模式的動力學底下存在著隱模式。混沌理論家發明了新方法，幫助我們搞清楚這些模式是什麼。
混沌對科學家如何思維做出了根本的改變。長期天氣預報如今由運行幾十個、乃至數百個仿真而產生，包含仿真開始時真實世界數據的小的無規則變化。原因很簡單：要避開那個著名的“蝴蝶效應”，描述天氣的方程式的一個惱人特徵的聳人聽聞的名字。也就是說，天氣的目前狀態中的微小改變，可以導致其預測的未來狀態的巨大變化。訣竅在於，做出許多的預測，每一個都從略微不同的數據出發，得出哪一個預測最可能正確——以及在多大程度上正確——的統計估算。
混沌闡明了動物種群逐年的變化。混沌幫助我們搞清楚太陽系在幾十億年前是什麼樣子，今後幾十億年將可能是什麼樣子。混沌影響了我們的日常生活，不僅僅是通過更好的天氣預報，比如，彈簧製造業如今使用它進行金屬絲的質量控制。這些革命性變化的許多故事，都在本書中講述。感謝潘濤博士翻譯本書，使得中國讀者能夠看到。我希望，你讀它能夠像我寫它一樣享受。伊恩·斯圖爾特2015年1月於考文垂英文版序英文版序
《上帝擲骰子嗎？》第一版出版於1989年，當時沒有序。很長一段時間，我都沒有寫序，因為我覺得沒有人看序言，所以本書由引言開篇。這次再版，引言仍然保留，但補寫了序——是啊，兩個引言有點過分。你要是有了第一版，正掂量這一版內容是否足夠不一樣到值得購買，應該閱讀第14章到第17章的部分或全部，大部分是新加的內容。如果足夠不一樣，就掏錢買吧，行嗎？把書帶回家之前，你可以決定是否讀這篇序言。
“混沌”不光是一個表示混亂的時髦詞。在科學中如今盛行的意義上，它是一個全新的不同概念。混沌出現於確定性（即非隨機性）系統以貌似隨機的方式行事之時。這聽上去有些悖謬，但“貌似”隱藏著許多幺蛾子。最近十年的一大發現是，混沌就像傳統類型的規則行為（諸如定態和周期循環）一樣常見。回頭來看，混沌並沒有什麼特別驚人之處。從今日的視角，加上後見之明，很容易理解，混沌如何產生，混沌為何頻頻現身。許許多多的人，其中很多是科學家，居然還是把混沌當作奇談怪物來談論。抱歉，混沌不是怪物。混沌如同周期循環一樣稀松平常。可是幾百年來，我們習慣於周期循環，我們剛開始跟混沌打交道，還沒有習慣於它。不必驚奇：混沌是非常微妙、複雜的。
自1989年以來，混沌走過了很長的路。特別是在大眾媒體中，它變成了“混沌理論”。我認為究其本意而言，把混沌視為一種理論是一個錯誤，但我理解記者們需要一個朗朗上口的短語來概括這個領域，你還能怎麼叫它呢？於是，我有時也用這個短語，盡管我總體上用它指混沌的大眾形象，跟實際科學家的用法有所區別。然而，混沌並不是一種理論。混沌是一個概念，是一個不可與動力學的其余部分分隔開的概念。它是一個打破所有科學傳統邊界的理念。它是巨大拼圖的一塊缺塊。它是影響深遠的有序與無序的統一。可是歸根到底，把混沌分離為理論，就好比把“骨架理論”從動物學裡抽離出來一樣。
確實存在一種新的理論，名叫非線性系統理論、動力學系統理論或非線性動力學：不是在其以前完全不存在的意義上，而是在它“脫穎而出”的意義上，並且在其本來意義上堪稱一個理論。這往往就是人們談論“混沌理論”時所指的意思。其實，“理論”一詞至少有兩個含義。一個是用於“量子理論”或“相對論”中的含義——一種關於自然如何行事的陳述。此種理論的用處，取決於它與自然匹配得足夠好。非線性系統理論，是另一種意義上的理論，即具備清晰、一致同一性的協調的數學知識體。於是，並不存在關於其正確性的嚴肅問題：當數學錯了的時候，錯誤往往顯而易見。大問題在於：混沌這個概念能夠承擔新的科學洞見嗎？（假如不能夠，我們就必須擦去非線性動力學：你不能把彼此分開。）數學意義上的混沌理論，會變成科學意義上的新理論的基礎嗎？
這正是混沌變得爭論不休的地方，因為它不再是核查數學、搞清楚有沒有錯誤的事。打個比方，微積分是一個有效的數學理論，但不意味著微積分對科學的每一個應用都必然正確。假如你為月球運動建立模型時設立了錯誤的微分方程，那麼，不管你如何正確運用微積分，你都得不到有意義的東西。假如你的理論模型產生了混沌，道理亦然：從模型到混沌的聯繫可能是無懈可擊的，但是，從實在到模型的聯繫呢？
《上帝擲骰子嗎？》有兩個突出的主題。其一是解釋混沌的數學概念，混沌為什麼既是自然的，又是不可避免的。其二是問：混沌在現實世界存在嗎？為了使這個問題有意義，可以換一種說法。數學不存在於現實世界裡。重要的是，它以一種有用的方式模擬現實世界。圓的幾何形狀幫助我們理解為什麼輪子會平滑地滾動。可是，你在轎車上找不到真正的數學圓。你在現實世界裡可以找到兩只羊、兩個蘋果、兩個書擋，但你從未遇到“兩”這樣的數。於是，問題應該是：“混沌的數學概念以一種有用的方式模擬的現實世界，有助於我們理解我們所見到的事物嗎？”
如果你看看科學期刊裡刊載的東西，顯然回答是肯定的。1995年，我參加了工業數學和應用數學學會（簡稱SIAM）在猶他大學舉辦的關於動力系統應用的學術會議。SIAM是世界上大多數技術先進國家的應用數學的頭號職業團體，而不是極端分子的米老鼠聚集物。有五百多個數學家參加了為期四天的會議，會場上有兩百多個研究報告。大約有一半是關於混沌的，或者是關於由混沌引發的論題的，諸如數據分析的新方法。所以，要是有人告訴你混沌不過是媒體的炒作，他們錯了。混沌早就有了，如今才在科學意識裡深深運行。當然，這個層面的活動不意味著混沌的每一個假設應用都是正確的。一旦混沌理論在一個領域得到“證明”，你就自動被迫把它推廣到所有領域，此種假設（我認為此乃某些批評家如此不寬容地持否定態度的一個原因）就源於對我剛才提及的“理論”的兩個含義的混淆。每一個應用，必須在其自身的科學領域內證明其價值。
《上帝擲骰子嗎？》這個新版本不同於第一版，主要在於包括了關於應用的新材料。我對原版本實際上沒有改動：自從它出版以來，沒有發生什麼需要動大手術的地方。我在原書末尾插入了全新的三章。第14章是關於混沌系統中的預言，那是完全可能的，取決於你想預言什麼；它還討論了多個相關議題。我列入了好幾個新的應用，從變星的脈動到彈簧製造業中的質量管理。新加的第15章關於混沌系統的控制，一種實際應用的潛在來源，當你學會運用混沌而不是假裝它不存在時何種優勢會發生的案例研究。此種應用包括更加經濟地操縱人造衛星，在靈巧心臟起搏器的方向上領先。
新加的第16章是相當臆測性的。我力求解釋混沌概念如何可能導致對愛因斯坦著名問題（本書的書名）的新回答。愛因斯坦對量子力學通常以不可化約的蓋然性成立而憂心忡忡。量子世界的表觀無規則性，是否可能確實是確定性混沌？假如混沌在量子力學之前被發現，物理學的軌道是否會有所不同？這些問題在1989年還無法回答，現在卻可以了。在科學文獻中有一個十分特別的提議：是臆測性的，但基於堅實的發現，其中有些發現還很新。那是一個激動人心的故事，所有的配料都是好科學：只是整個攪拌是臆測性的。你不臆測，就不會積累。
我還把前面幾章更新了一下。至少流體中的湍流的幾個例子是由於混沌，現在是完全確定的。關於太陽系的動力學，有一些新的結果，就大大長於另一個十億年時間，以其目前的形式似乎不存在。宇宙在比我們想象更大的尺度上是成團的。某些生態系統裡的混沌，接近成為一個確立的事實。分形幾何學已經取得了嚴肅的商業用途。數學方法已然高級到這樣的程度：我們現在可以任何精度證明，氣象學家愛德華·洛倫茲建立的模型確實導致混沌。這對那些認為混沌出現是由於計算機誤差的正統衛道士是一個壞消息，但對非線性動力學的邏輯基礎是個好消息。
最後，混沌理論的伴侶現在現身了，稱為複雜性理論。混沌理論告訴我們，簡單系統可以呈現複雜行為；複雜性理論告訴我們，複雜系統可以呈現簡單的“突現”行為。不提及複雜性理論，如今對混沌的討論就不完整，所以我把它放在最後一章。複雜性理論的確充滿爭議，但它給沉悶乏味的、老式的線性理論帶來了新鮮空氣。我堅信：未來幾十年，目前還在摸索的複雜性理論家的那種思維，將在幾乎所有科學活動的領域都證明有根本性的意義。我並不認為複雜性理論掌握了答案，但我認為它確實為這個問題提供了非常有意義的視角，此種視角又為尋找答案指明了新的道路。
我不想把混沌兜售給你。我不是尋求皈依的新宗教的先知。我不希望你信仰——只需思考。我所做的不過是，盡我所能以可理解的形式，把你就混沌的目前進展和未來潛力做出自己的判斷的信息，呈現給你。我哪怕是在臆測時，也力求清楚明白。其余時間，我把思想或結果以有待發表的嚴肅科學和數學文獻的形式呈現。那並不意味著它們都必然正確，而是表明它們是可懷疑的……
現在我恐懼地知道了人們不讀序的原因：那些序沒意思，不是嗎？可是，我還沒有告訴你關於混沌的所有新應用呢——地球熔融內核中的混沌，北極光中的混沌，時空深層結構裡的混沌，編碼理論和通信中的混沌，歌劇歌手嗓音中的混沌……
就此打住。伊恩·斯圖爾特1996年1月於考文垂引言是鐘表還是混沌？引言是鐘表還是混沌？
你信仰擲骰子的上帝，我卻信仰完備的定律和秩序。
——愛因斯坦給玻恩的信引自《愛因斯坦文集》第1卷第415頁，許良英、範岱年編譯，商務印書館，1976年。引自愛因斯坦1944年9月7日給玻恩的信。——譯者注有一種理論認為歷史周而復始地演進。但是，人類活動的進程好比螺旋上升的樓梯，是在新的層次上經歷一周的。文化變遷的“擺的擺動”並非簡單地反復重演同樣的事件。姑且不論上述理論正確與否，反正它成了一個引人注目的隱喻。本書的論題正是敘述一個這樣的螺旋環：混沌或譯渾沌。——譯者注讓位於秩序，秩序又產生新形式的混沌。但在這種“擺的擺動”過程中，我們不求破壞混沌，而圖駕馭混沌。
在我們人類遙遠的過去歲月中，大自然被當作變幻莫測的創造物，物質世界的缺乏秩序被歸咎於操縱它的法力無邊、不可理喻的諸神的隨心所欲。混沌泛濫成災，規律無法想象。
幾千年間，人類逐漸認識到，大自然有許多可以被記錄、分析、預言和利用的規律性。到18世紀，科學在揭示自然界的規律方面成就斐然，使得不少人以為尚待發現的定律寥寥無幾。亙古不變的定律精確而永遠地規定了宇宙中每一個粒子的運動：科學家的任務乃是針對人們感興趣的任何特殊現象闡明這些定律的意義。混沌讓位於鐘表世界。
但是，世界運動不息，我們的宇宙觀亦隨之而發展。如今，連我們的時鐘都不用發條裝置制成，為什麼我們的世界卻應當如此呢？隨著量子力學的誕生，鐘表世界業已變成一張宇宙彩票。諸如放射性原子衰變這樣的基本事件，都被認為決定於偶然，而不是決定於定律。盡管量子力學取得了非凡的成功，它的概率特徵卻還沒有被普遍接受。這篇引言的開頭引述了愛因斯坦（Albert Einstein）愛因斯坦（1879～1955），德國瑞士美國物理學家。——譯者注在給玻恩（Max Born）玻恩（1882～1970），德國英國物理學家。——譯者注的信中提出的著名異議。雖然愛因斯坦指的是量子力學，可是他的哲學也代表了整個時代對經典力學所取的態度，而在經典力學中，量子不確定性是無效的。對偶然性而言，骰子的隱喻完全適用。確定性有沒有給偶然性留下一席之地呢？
愛因斯坦對量子力學的看法是否正確，尚待分曉。然而我們的確知道，經典力學世界甚至比愛因斯坦想象的還要更加不可思議。他力圖突出偶然性的無規則性與定律的確定性之間的差別，這一點是大有疑問的。上帝或許能在擲骰子的同時，創造出定律完備和秩序井然的宇宙萬物。
循環在更高的層次上輪回。因為我們開始發現，那些遵循不變的、精確的、定律的系統並不總是以可預言的、規則的方式運作。簡單的定律可能不產生簡單的性態。確定性的定律會產生貌似無規則的性態。秩序能孕育出自身特有的混沌。問題與其說在於上帝是否擲骰子，不如說在於上帝怎樣擲骰子。
這是一個重大發現，它的意蘊必將對我們的科學思維形成強大的衝擊。從混沌的觀點來看，預言（或可重復性實驗）的概念煥然一新。我們過去以為簡單的事物變得複雜了，與測量、可預言性和驗證（或否證）理論有關的一些令人困惑的新問題產生了。
相反，我們過去以為複雜的事物倒可能變得簡單了。看來無結構的、無規則的現象實際上可能遵循著簡單的定律。確定性混沌自有其一定的規律，並且帶來了全新的實驗技術。大自然中不乏一些不規則性，其中有些不規則性，可以證明是混沌之數學的物理表現形式。流體的湍流，地球磁場的反轉，心搏的不規則，液氦的對流模式，天體的翻轉，小行星帶中的空隙，蟲口的增長，龍頭的滴水，化學反應的進程，細胞的代謝，天氣的變化，神經衝動的傳播，電子電路的振蕩，系纜於浮筒的船只的運動，臺球的反彈，氣體中原子的碰撞，量子力學的內在不確定度——這些僅是已應用過混沌之數學的問題中的一部分。
這是一個嶄新的世界，一種新的數學，在認識大自然中的不規則性方面一個舉足輕重的突破。我們正目睹著它的誕生。
它的未來不可限量！

第1章混沌出自秩序/001
無理的推論/002
鐘表世界/006
向土衛七旅行/010
混沌/015
計算器混沌/016
印度教與機械維護技術/022第2章萬應方程/023
宇宙旋轉/025
來自希臘的齒輪/026
中心的太陽/028
擺的擺動/030
引力和幾何學/035
世界的體系/036
鐘聲和笛聲/039
風和波/041
被分析拋棄/042
當鋪裡的數學/043
重新表述時期/044
市場中的糾紛/046第3章誤差定律/048
賭博收益/049
平均人/051
遺傳天賦/054
技術轉移/058
荷蘭混沌/059
省掉一個範式？/061第4章最後一個通才/063
心不在焉的沉思者/066
數學奧斯卡/067
橡皮動力學/070
發瘋似地奔向四面八方/072
永恒的三角關係/074
一個拓撲學問題/076
天體混沌/079第5章單向擺/083
你要是贏不了，就騙/085
能量面上的幾何學/089
非象類動物學/093
把它卷起來……/097
比摩擦更奇妙/100
多維傳奇/102
n維空間中的動力學/108
第6章奇怪吸引子/111
光陰似箭/113
匯/114
源/116
鞍/116
極限環/118
典型地，正是如此/120
旋轉一只貓/122
洞見，而不是淺見/124
結構穩定性/126
吸引子/128
包繞映射/130
混沌的足跡/133
龐加萊截面/135
緯垂中的螺線管/139
康托爾幹酪/143
真正的混沌/146
嘲諷對話/147第7章天氣預報廠/149
輝煌的失敗/150
氣候象棋/151
在零和無窮大之間/152
百萬次浮點運算/153
本質上的數學家/157
勇於自做對流/159
擁有計算機的好處/161
蝴蝶效應/164
拍打那只蝴蝶/168
拉伸和折疊/173第8章混沌的製作法/176
拉伸和折疊/177
從雷達到馬蹄/179
動力學波倫亞醬/181
磁阱/182
千層餅/184
在比頓之外/188
邏輯斯蒂映射/189
定態區/190
周期倍化級聯/192
混沌中的秩序/194
大蚤，小蚤……/197第9章敏感的混沌/201
探測深度/204
累積擺振/206
靠不住的方案/210
可證偽性/212
實驗室典範/213
激光器照明/217
交往/221
贗可觀測量/222
奇怪的化學/225
回到芭蕉/228第10章無花果樹和費根值/233
宇宙汪洋中的漂流瓶/234
別擾動——重正化！/237
沒有計算機的好處/239
蛇與熊/242
重正化/244
費根鮑姆映射/247
費根值/249
雙刃劍/250
湍流空想/252
冷和靜/254
氦卷/255第11章實體的脈絡/259
測量的標度/261
雪花和海岸線/262
一又四分之一維/264
“別碰幾何學”/265
硅谷/268
聚集和逾滲/270
油和水怎麼會不混合/271
宇宙和萬物/273
分形贗品/276
云和雨/279
實質上的姐妹/280
姜餅人/282
分形牛/288第12章再論土衛七/292
宇宙馬鈴薯/293
吸血鬼幽靈/295
自旋軌道幾何學/297
潮汐式摩擦/300
那是怎麼發生的/301
共振/302
柯克伍德空隙和希爾達星群/307
高偏心率峰/308
火星清掃工/311
數字太陽系儀/312
奧斯卡國王的答案/314
被月球挽救？/318第13章自然界的失衡/323
鯊魚和小蝦/325
超光速兔/326
增長的極限/329
條件組合/330
大談綠頭蠅/332
甲蟲動力學/335
生命之網/338
流行病學中的混沌/342
HIV動力學與艾滋病/346
心搏驟停！/349
踢發轉子/350
王後屈尊/352
雞心/353
醫學數學/354第14章超越蝴蝶/356
什麼是隨機性？/357
機遇與混沌/361
脈衝星/365
短期預測/372
現實世界/376
FRACMAT項目/379第15章馮·諾依曼之夢/392
彈珠巫師/395
再次回到鞍點/398
飛離彗星/402
智能起搏器/406
巴布羅延茲的腦波/408
大腦需要混沌/414第16章混沌與量子/417
波、粒子和量子/420
波函數/422
箱子裡的貓/426
EPR佯謬/431
玻姆詮釋/433
貝爾不等式/438
骰子與確定論/442
孔洞盆/446
假如之世界/451第17章別了，沉思機/453
巨智者與大智者/454
設計者混沌/457
不可重復的實驗/458
夢遊混沌/459
為現實數學而戰/461
萬變不離其宗……/463
複雜性守恒/466
機器中的山羊/471
簡單性理論/475
可替換性/478
蟻國/480
簡雜性與復單性/484

尾聲與上帝對擲/487

延伸閱讀/488

索引/503

第二版譯後記/519