從零開始的量子力學：從骰子遊戲到生死未卜的貓，你非深究不可的神祕理論

愛因斯坦：「我相信上帝不扔骰子的。」
波耳：「不要告訴上帝該去做什麼。」

科學界兩大巨頭的精彩交鋒 × 二十世紀物理學界熱門話題

惠勒：「我不知道哪裡還會再出現兩位更偉大的人物，在更高的合作水準上，針對一個更深刻的論題，進行一場為時更長的對話。」

►人人談論的「量子」，到底是什麼？
量子這個詞是從拉丁文「quantum」而來的，原意是數量。
如果一個物理量存在最小的不可分割的單位，那麼這個最小單位就稱為量子。例如在微觀的世界中，能量的狀態是不連續的，是由一小塊、一小塊能量所組成的能量，而這個最小且不能分割的能量狀態，就是量子。

►到底什麼時候才會用到量子力學呢？
有些人可能會認為，量子力學與我們的日常相距很遠。
但其實，我們當今生活都與量子力學有著密不可分的關係，如我們用的手機、電腦、電視機等各種電器，以及大量使用電腦的各行各業（如銀行），這些都與量子力學有著密切的聯繫。

►「科學巨人」愛因斯坦對量子力學的看法
愛因斯坦是量子力學的先驅，他甚至被譽為「量子論之父」中的一個。
但是，愛因斯坦堅持認為，量子世界與宏觀世界不應該有質的不同，人們對宏觀世界的認識應該可以延伸到微觀領域，量子世界與宏觀世界一樣應該具有實在性。

►來談談量子力學與諾貝爾物理學獎
量子力學是從20世紀初發展起來的，到今天已經被授予了「無數個」諾貝爾物理學獎和化學獎。有的諾貝爾獎聽起來似乎只是一個新概念的提出；有些甚至只發表在論文的註釋裡面。其實，每個物理學獎的背後都顯示或隱含著大量的數學過程，而且有非常深刻的物理內容。

►初學者該如何學好量子力學？
由於量子力學很難用司空見慣的現象來比喻而達到幫助理解的效果。
對於初學者來說，可以採取一種「鴕鳥心態」，即盡量先接受量子力學的正統解釋，暫時不去追根究柢地問為什麼。而本書能夠對理清讀者的困惑有所助益。

本書特色：
本書有助於一般讀者了解目前基本的量子力學的正統解釋和數學框架。作者既希望本書對攻讀量子力學課程的學生們有所啟迪（如數學框架方面），也希望能夠向一部分大眾普及量子力學的基本原理知識。全書文筆流暢、解釋清晰易懂，對於想要一窺量子力學世界的自學者來說，實屬不可多得的佳作。

朱梓忠，物理系教授。美國紐澤西州立大學博士後，美國愛荷華州立大學和能源部阿莫斯實驗室博士後。東京大學、香港科技大學和臺灣大學訪問學者。長期從事基於量子力學基本原理的計算凝聚體物理學研究工作，曾主持多項國家自然科學基金項目，發表學術論文200多篇。

前言

量子力學與相對論，是20世紀人類科學發展的最高成就，它們的哲學基礎是最深刻的自然哲學基礎。了解量子力學的基本原理，對於提高個人的科學素養有很大的幫助。當今社會科技發展非常迅速，有很多事物如量子纏結、量子通訊、量子運算、量子金鑰以及量子穿隧等，都有非常新奇的量子力學概念。而想要理解這些名詞，掌握一部份量子力學的基本原理就變得很有必要。此外，提高科學素養也是很重要，這樣就不至於鬧出「奈米是米的一種」這樣的笑話。很多人都聽說過「量子」二字，但是對其意義卻困惑不解。

撰寫本書的最初動因，源於我講授「理論物理導論」課程的時候。當時有學生提問：「既然說牛頓力學在微觀世界裡是不對的，那麼它到底錯在哪裡了？」我當時愣了一下，是啊，錯在哪裡了？對於這個看似「簡單」的問題，我似乎也沒有認真思考過。雖然我馬上明白，一旦要說牛頓力學有時候不對了，那一定是牛頓的三個定律有時候不對了。所以，回答這個問題需要從解釋牛頓三個定律有時候是不對的開始（本書也正是從這裡開始的）。此後，對牛頓力學體系基本基石的思考，以及對量子力學基本基石的思考，就成為撰寫本書的衝動。事情都是這樣：在經過了一段較長時間的「想寫」與「不想寫」的糾結後，最後由於很偶然的理由才開始真正動筆。只是由於教學和科學研究的事務繁重，撰寫的時間只有半年多一點，所以我唯一擔心的是書中內容難免會有不恰當的地方。好在，本書的出版應該不會妨礙某個量子力學專家再寫一本更實用的量子力學書籍。

上述的例子――幫學生上量子力學課程的老師，可能並沒有認真思考過量子力學――讓我們明白，能夠熟練運用量子力學的數學框架求出各種物理量，其實並不需要我們完全理解量子力學中蘊含的道理。甚至可以大膽猜測，能夠熟練運用量子力學知識，但是並沒有認真思考過量子力學，這可能是物理系、化學系和材料系等學過量子力學課程的學生中比較普遍存在的現象。本書並不會認真列出量子力學的諸多數學公式（反之會盡量迴避），所以它不會幫助讀者獲取已知數學框架下的更多的計算技巧。但是，對於希望理解量子力學中的基本道理的讀者來說，本書或可提供參考。我會盡量將故事敘述得簡單一些，目的也是要照顧到那些完全沒有學過量子力學的朋友。如果你認為自己是量子力學的專家，那麼要嘛沒有必要閱讀本書，要嘛可能需要容忍書中一些不夠嚴謹的敘述，畢竟只有數學公式才能完整表達一個物理量所有的含義。古典力學與牛頓力學這兩個名詞在書中的含義是一樣的，而牛頓運動方程式就是指牛頓第二定律的運動方程式。

我曾經說：「牛頓力學有時候錯了」，這馬上有另一位老師表達強烈不滿。她說：「不能說牛頓力學錯了，牛頓還發明了微積分呢！」我充分理解她對牛頓力學的崇拜。可能如果我改成說，牛頓力學在某些情況下不是很好用，那就不會引起誤會了。所以，為了生命安全，建議各位以後千萬不要說牛頓力學錯了，而應該說：「牛頓力學在某些情況下好像不太好用」。現在大家都明白，說牛頓力學有時候不適用了（或錯了），完全不是說牛頓不夠偉大，這只是歷史的緣故。在牛頓時代，如果你真的寫出了薛丁格方程式，那麼它根本就無法被驗證。而在物理學界，沒有辦法驗證的理論是會被忘卻的。牛頓在四大領域有偉大的貢獻：①發明了微積分；②由於微積分的發明而寫出了萬有引力公式；③牛頓力學體系的建立（即三大定律等）；④光學方面的許多重要貢獻。任何一個人作出以上任一項成就，都將名垂青史，更何況牛頓同時作出了這麼多偉大的貢獻。近代物理學之父伽利略有一句名言：大自然這本書是用數學語言寫成的。事實上，微積分便是牛頓為了處理基本力學問題（如瞬間速度）而發明的一種強而有力的數學工具。只有透過這種新的數學工具，牛頓才能完整表達他心中的物理世界。量子力學作為一種比牛頓力學更為「優越」的理論體系，也是歷史發展到一定階段的產物。但量子力學不是對牛頓力學的修正，而是完全的革命。可以說，量子力學的基石已經完全不同於牛頓力學的基石，希望讀者看到這一點。量子力學所運用的主要數學工具也與牛頓力學有所不同了。

有朋友的小孩問道：「為什麼世界上最著名的一些人物都是物理學家？像愛因斯坦、牛頓……這樣的人。」其實道理很簡單，因為物理學家所發現的都是自然界中最為基本的規律，而且這些基本規律是永恆的和普及的，它們對人類認識自然、改造自然有著根本意義上的重要性。對此，我認為可以補充道：「在過去的三百年間，關於誰是當時最有錢的人，早已被人們所忘記。沒有人還記得兩百年前誰是世界上最富有的人，即便是現在最有錢的人，也將很快被人們所遺忘。」這並非在鼓勵獲取一個永恆的名聲，只是敘述了一個事實而已。這也不是鼓勵大家都去學物理，因為這世界上有很多分工，無論哪一行都需要有人去做。

做科學普及工作的網站曾經做過調查問卷，調查科學家為什麼不願意參與科普，最終得到的前三大原因分別是：怕媒體、沒動力、沒管道。讓人欣慰的是，只有9%的科學家認為科學家不應該做科普，這不是他們的責任。調查中有很高比例的科學家表示「不能再給我們增加工作了，我們已經忙死了」。我基本上贊同同行們的意見，撰寫本書確實也花了不少精力。很明顯，這本書並不會在科學上取得任何具體的成績，它不是學術著作，也不是科學進展，它就是科普作品，只是很多地方比一般的科普書更加深入一些而已。你只要粗略翻一翻本書就清楚了，它沒有數學推導，出現的公式也是最基本的那些。而物理的語言是數學，沒有數學推演其實就不是物理（如果有不同意見，歡迎指教。下同）。書中的內容當然基本上是已知的，但是所有內容都是經過作者思考和理解之後再敘述的。有些概念還在發展中，有些概念作者理解得還不準確，請讀者批評和指正。如果讀者能回饋意見給我，筆者將無比感激。原則上，我可以把本書寫得再厚一點，但是這樣做將違背本書所希望達到的目標，那就是，在很短的時間內科普量子力學的基礎知識。理所當然，我們只能科普普通的量子力學，比較進階的部分只是做了一定的選擇（根據作者個人的意見）。

物理學是建立在一些基本原理和基本概念之上，經過數學的演繹和實驗的探索而發展和完善起來的學科。所以，理解物理學的基本原理和基本概念就顯得尤為重要。書中對量子力學的主要原理和概念進行了思考和剖析，有些是哲學意義上的思考。希望能夠將這些思考和敘述傳遞給學物理的學生、相關的科技工作者和大眾。由此，也期待讀者能夠在本書的基礎上更深入思考。量子力學敘述起來，在很多方面好像有悖於日常的經驗，如何淺顯解釋量子力學的基本原理，就成為本書寫作上的挑戰。作者將盡量使用簡單的敘述和語言來討論比較複雜的概念，希望讀者也能把思維放開一點。

著名的物理學家費曼曾經斷言：「我想我可以放心說，沒有誰理解量子力學。」惠勒在給友人的信中也寫道：「2000年12月是物理中最偉大的發現――量子論――誕生一百週年。為了慶賀它，我建議用一個標題：量子論――我們的榮耀和慚愧。為什麼說榮耀，因為物理學所有分支的發展都有量子論的影子；為什麼說慚愧，因為一百年過去了，我們仍然不知道量子化的來源。」

惠勒是一位著名的物理學家，普林斯頓大學的榮譽退休教授。所以，很多時候本書無法告訴你，為什麼在某個地方會出現某種量子化，以及為什麼兩個粒子會處於纏結態等類似的問題。本書只是幫助你了解目前基本的量子力學的正統解釋和數學框架。筆者的意圖是：既希望本書對攻讀量子力學課程的大學生們有所啟迪（如數學框架方面），也希望能夠向一部分大眾普及量子力學的基本原理。當然，到底能夠在多大程度上完成這個任務，只能有待於時間的驗證。

期待本書能夠為從事自然科學相關工作的，以及熱愛科學的人士提供消遣。最後，應該說，閱讀本書從1小時到1個月都是適合的。

前言
第1 章　引論
1.1　總論
1.2　量子
1.3　古典物理學和量子力學
1.4　什麼時候必須用到量子力學

第2 章　古典物理學的困境
2.1　牛頓三個運動定律遇到了問題
2.2　量子論創立之前的古典物理學
2.3　古典物理學遇到的困難

第3 章　舊量子論時期
3.1　新世紀來臨：普朗克的突破
3.2　光電效應
3.3　有核原子模型
3.4　波耳的原子理論
3.5　波粒二象性

第4 章　量子力學的創立
4.1　海森堡的矩陣力學
4.2　薛丁格的波動力學
4.3　量子力學的基本假設和數學框架
4.4　薛丁格方程式
4.5　波函數的機率解釋
4.6　測不準原理
4.7　愛因斯坦與波耳的爭論
4.7.1　愛因斯坦和波耳在量子力學的解釋方面的爭論
4.7.2　在測不準原理上的爭論

第5 章　更多的量子力學基礎
5.1　波函數塌縮
5.2　態疊加原理
5.3　薛丁格的貓
5.4　包立不相容原理
5.5　量子穿隧效應
5.6　1 小時可以大致科普量子力學嗎？

第6 章　非定域性和量子纏結
6.1　EPR 悖論
6.2　量子纏結
6.3　玻姆的隱變數理論，貝爾不等式
6.4　量子密碼
6.5　量子隱形傳態
6.6　量子通訊
6.7　量子運算

第7 章　進階一點點的量子力學
7.1　自旋是什麼
7.2　非相對論性量子力學的第三種形式
7.3　相對論性量子力學
7.4　量子力學看起來應該是這樣的
7.5　密度泛函理論
7.6　量子力學的隨機性、疊加性和非定域性

第8 章　今日的量子
8.1　量子力學和相對論的不相容
8.2　當今的物理學
8.3　量子力學的學習方法
8.4　談談諾貝爾獎
8.5　愛因斯坦對量子力學的看法
8.6　楊振寧對量子力學的貢獻

附錄A　量子力學發展簡史
A.1　量子論創立之前古典物理學在熱輻射現象上的進展
A.2　舊量子論的誕生和發展
A.3　量子力學的創立和完善

附錄B　對稱性與守恆定律
（1）空間的平移對稱性導致動量守恆定律
（2）空間的旋轉對稱性導致角動量守恆定律
（3）時間的平移對稱性導致能量守恆定律

人名的中英文對照
後記

愛因斯坦與波耳的爭論

量子力學建立以後，對於量子力學的物理解釋和哲學意義，一直存在著嚴重的分歧和激烈的討論。許多著名的理論物理學家、實驗物理學家，甚至數學家和哲學家等都捲入了這場爭論。爭論是非常深刻和廣泛的，這在科學史上是很罕見的。這其中，愛因斯坦和波耳在量子理論上的爭論非常有名，這不僅僅是因為愛因斯坦和波耳都是20世紀最具代表性的物理學家，還因為他們關於量子力學的本質問題的爭論具有根本意義上的重要性。所以，我們花一節不長的篇幅來簡單介紹一下這場爭論。我們不想也不可能將這場爭論的細節敘述得非常清楚，如果各位有興趣，有大量關於這場爭論的論文和書籍可供參考。

在愛因斯坦和波耳的爭論中，波耳可以「被判獲勝」，這是因為愛因斯坦最終也沒有能夠指出量子理論中哪裡有決定性的失誤。不管怎樣，愛因斯坦終生也沒有消除他對量子理論的不信任感。愛因斯坦承認，量子理論的確在某種程度上正確地表現出了自然現象，但是他認為，量子理論是不完整的，它還不能算是最終的理論。這與以波耳為首的哥本哈根學派所認為的「量子力學是完備的理論」相左。

愛因斯坦始終也沒有能夠指出量子論中哪裡有決定性的失誤，因而這場爭論波耳可以「被判獲勝」。但是，愛因斯坦終生也沒有消除他對量子理論的不信任感。

雖然愛因斯坦和波耳的爭論非常著名，可惜的是，並沒有原始的官方資料保存下來，對當時情景的回顧只能依靠一些當事人的回憶和信件，當然也有波耳本人在1949年為慶祝愛因斯坦70歲生日所寫的文章等。海森堡在1967年回憶道：「（開會期間）我們一般在旅館用早餐的時候見面，這時愛因斯坦就會描繪一個思考實驗，用來說明哥本哈根學派解釋中的矛盾。然後愛因斯坦、波耳和我便會走向會場，我就可以聆聽這兩個哲學態度迥異的人的討論。會議中間，尤其是會間休息的時候，我們這些年輕人――大多數時候是我和包立――就會試著分析愛因斯坦的實驗。吃午飯的時候，又在波耳和哥本哈根學派的人之間討論。一般來說，波耳在傍晚的時候就心裡有數了。他會在晚餐的時候分析給愛因斯坦聽，愛因斯坦對這些分析提不出反駁，但是在他心裡是不服氣的。」

本節我們只討論愛因斯坦和波耳在三個方面比較著名的爭論，主要涉及「量子力學的解釋」、「測不準原理」和「量子力學的完備性」三個方面。

1926年9月，薛丁格應波耳之邀，訪問了哥本哈根並介紹了他的波動力學。薛丁格提出應該放棄量子躍遷的概念，而代之以三維空間的波來描述微觀客體的行為。薛丁格的這一想法一提出來，立即遭到波耳的強烈反對。這一爭論也被看作是愛因斯坦和波耳爭論的序幕。

在介紹愛因斯坦和波耳在量子力學的解釋方面的爭論之前，我們有必要簡單總結一下波耳學派和愛因斯坦的基本觀點。

以波耳為代表的哥本哈根學派的主要觀點包括以下幾點。①波函數的機率解釋。說明在微觀領域，古典力學的決定性和因果律都遭到了破壞，量子力學的機率性是本質的。②測不準原理。電子座標和動量、能量和時間等正則共軛物理量不能同時被準確確定，要遵從測不準原理。海森堡認為，這種不確定性正是量子力學中出現統計關係的根本原因。③波耳的互補原理：（波和粒子）無論是哪一種圖像都不能向我們提供微觀客體的完整描述，只有把這兩種圖像結合起來、相互補充，才能提供微觀客體的完整描述。④量子躍遷是量子力學的基本概念。另一方面，愛因斯坦、薛丁格等人的觀點主要是：①堅持「完全的因果性」的信念；②質疑「量子力學僅可建立在可觀察量的基礎上」，提出了「是理論決定我們能夠觀察到的東西」的觀點。

1927年10月，在比利時首都布魯塞爾召開了第五次索爾維會議。會議主題是「電子和光子」。玻恩和海森堡在作關於矩陣力學的報告時指出：「我們主張量子力學是一種完備的理論，它的基本物理假說和數學假說是不能進一步被修改的。」這番話無疑是向不同意見提出了挑戰。接著波耳也再次闡述了他的「互補原理」。由於愛因斯坦一直對量子力學的統計解釋感到不滿，他曾在1926年12月給玻恩寫信時說：「上帝不是在擲骰子。」在會議上，當玻恩問到愛因斯坦的意見時，愛因斯坦表示贊同量子力學的系綜機率解釋，但不贊成把量子力學看成是單個過程的完備理論的觀點。愛因斯坦的發言掀起了波瀾，也從此引發了他和波耳之間就量子力學解釋問題的公開爭論。

愛因斯坦和薛丁格等人都不贊成把物理學建立在不確定的統計解釋和測不準原理之上。愛因斯坦尤其對量子力學中的機率解釋很不滿意。我們來看看愛因斯坦對這兩個極重要的實驗的看法，以及波耳是如何反應的。

（1）一個電子通過一個小孔（或一個小縫）的衍射實驗：愛因斯坦首先指出了當時的兩種觀點，第一種認為電子是一團電子雲（薛丁格的說法），第二種認為電子並不擴散到空中，但是ψ是它的機率波。愛因斯坦承認第二種觀點比第一種更加完備，因為它整個地包含了第一種的觀點。但是愛因斯坦還是反對第二種觀點。因為這裡面的隨機性會使同一個過程產生許多不同的結果，這樣感應屏障上的許多區域都要同時對電子的觀測作出反應。這種情況的背後隱含著一種超距作用，這是違背相對論的。顯然，愛因斯坦對此是不能容忍的。波耳在經過認真思考之後指出，不能避免在測量時儀器對電子有不可控制的相互作用，即電子與小孔邊沿的相互作用。

（2）類似湯瑪斯．楊的雙縫干涉實驗：在實驗中控制電子槍讓它一個一個很慢地發射電子，感應屏障上就會出現一個一個的亮點，從而可以測量電子們的位置。愛因斯坦說，如果分別關閉兩條縫中的一條，就可以判斷電子是通過了哪一條縫，從而測出電子的準確路徑。由於干涉條紋可以用來計算電子波的波長，從而可以精確地得出電子的動量，這樣就否定了測不準原理（因為位置和動量被同時精確確定了）。波耳在經過認真思考後說，如果關閉兩條狹縫中的任何一條，實驗狀態就完全改變了，雙縫開啟時出現的干涉現象就不會出現，實驗將回到單縫狀態。也就是說，電子的行為依賴於壁上有沒有存在另外一條狹縫。

愛因斯坦並沒有因為自己的質疑被波耳化解而改變自己的看法，他曾經說過一句充分表達他內心信念的名言：「你相信擲骰子，我卻相信客觀存在的世界中的完備定律和秩序。」

順便來看一下歷史上著名的第五屆索爾維會議，是很有意思的（這次會議從1927年10月24日開到29日，為期6天）。請大家看一下會議所留下的這張照片（圖4.8），這是物理學史上至今最偉大的照片，它顯然就是「物理學家全明星的夢之隊」。這張照片使後人感到十分的驚奇，歷史是如何能夠在這麼短的時間（6天）、這麼小的會議規模（20～30人）以及這麼小的一個地方同時聚集了這麼多的物理學權威。當然世界上沒有盡善盡美的東西，有一點遺憾的是索末菲和約爾旦沒有在照片中。

在測不準原理上的爭論

愛因斯坦認識到，量子理論方興未艾，已經枝繁葉茂。與波耳在細節上爭執，已經沒有什麼意義。再說，波耳的背後還有海森堡、包立等一群弟子，他們都已經成長為獨當一面的「宗師」。所以，愛因斯坦必須在量子理論的精髓和要害部位提出質疑，這個要害就是測不準原理。愛因斯坦除了對量子力學的機率解釋不滿之外，對測不準原理也很不滿意。他認為這是由於量子力學主要的描述方式不完備造成的，所以只能得出不確定的結果。在1930年10月的第六屆索爾維會議上，愛因斯坦提出了一個後來被稱為「愛因斯坦光子箱」的理想實驗。情況是這樣的：想像有一個不透明的箱子，內有一些光子。將箱子懸掛在一個固定的底座上。箱壁上開一個小孔，並設有用計時裝置控制的快門。箱子下面掛一個重物G，整個箱子的重量可以由裝在箱子外面的指針測定。現在，如果從快門打開到閉合的很短時間Δt裡，只讓一個光子飛出，Δt可透過計時裝置精確地測定。由於飛出一個光子而引起的整個箱子的質量改變Δm也可精確測定，則由質能關係式E=mc2即可計算出能量的變化ΔE，這樣Δt和ΔE就可以同時被精確地測定了。這樣，測不準原理不再成立。

聽了愛因斯坦「光子箱」的發言，據說當時波耳「面色蒼白，呆若木雞」（多數書籍都這樣引述）。愛因斯坦的這一招當然乾淨漂亮，直中要害，波耳一時也想不出什麼反擊的方法。面對這一嚴重挑戰，波耳經過一個不眠之夜的思考，終於找到了愛因斯坦的疏漏之處，第二天波耳就做了一個漂亮的回答。波耳指出，如果一個光子跑了，箱子的重量就輕了Δm。重量是用彈簧秤來測量的，那麼當光子跑了的時候箱子必將沿重力方向發生運動。這時，由於箱子在重力場中發生了位置變化，箱子內的鐘的快慢也將因廣義相對論的紅移效應而發生改變Δt，從而使時間的測量產生一個不確定量。波耳由此得出結論：用這種儀器作為精確測定光子能量的工具，將不能控制光子逸出的時間。波耳由此漂亮地導出了Δt．ΔE>h的測不準原理式。就這樣，愛因斯坦精心設計的「光子箱」理想實驗，不但沒有難倒波耳，反而成了測不準原理的一個絕好例證。這也正是我們討論愛因斯坦和波耳爭論的重要意義之所在。愛因斯坦也承認波耳的結論無可指責。