世界第一簡單物理數學

在歷史的長河中，物理學和數學總是同步發展著。
然而，到高中為止，「物理」和「數學」都被歸類為不同的科目，少有機會能體會到它們的「同步發展」。

本書的預設讀者是像作者一樣「不太擅長數學，卻想要學習物理學」的學生，透過比高中程度再稍難的數學，深入淺出地連結物理學，體會物理學與數學的息息相關，並盡可能地收錄大量的物理學例題，輔以漫畫特有的生動圖繪，幫助讀者能夠在腦海中不斷湧現用數學所描述的物理學世界。

也請來清華大學物理系林秀豪教授專門審訂，給予大家更專業的知識！

基礎數學知識對於在大學學習的物理學是必不可少的。

然而，在數學課上並不經常涉及物理學的應用，而且在大多數情況下，在物理課上也沒有多少時間來解釋數學。

本書針對高中和大學一、二年級所學的數學，如線性代數、微分和積分微積分、微分方程、複數等，通過漫畫和插圖，用視覺幫助學生獲得對公式和計算的清晰印象。

此外，還以實例的形式解釋了數學在物理學中的應用，可以從中理解數學和物理學之間的聯繫。

馬場 彩
1999年 京都大學理學系畢業
2004年 修畢京都大學研究所理學研究科博士課程，取得（理學）博士學位。
任職理化學研究所基礎科學特別研究員
2007年 任職日本學術振興會特別研究員（宇宙科學研究所）
2009年 任職都柏林高等研究所高階院士
2011年 任職青山學院大學理工學系副教授
2016年 任職東京大學研究所理學系研究科副教授（現職）

審訂者

林秀豪

國立清華大學特聘教授，美國加州大學聖塔芭芭拉分校物理博士。曾獲國立清華大學95、99、102校傑出教學獎。
研究領域：統計力學、普通物理、 熱統計物理、熱物理、應用數學、多體物理。

【網站】 http://hsiuhau.wikispaces.com

 製作：オフィスsawa
2006年創立，廣泛涉獵醫療、電腦、教育相關的實用書籍、廣告，善於製作活用插圖、漫畫的工具書、參考書、促銷文宣等。
 劇本：澤田 佐和子
 作畫：河村 万理
 DTP：オフィスsawa

譯者

衛宮紘

清華大學原子科學院學士班畢。現為自由譯者。譯作有《上司完全使用手冊》（東販）、《超慢跑入門》（商周）、《男人懂了這些更成功》（潮客風）、《世界第一簡單電力系統》（世茂）……等。

序言

在歷史的長河中，物理學和數學總是共同發展著。然而，到高中為止，「物理」和「數學」都被歸類為不同的科目，少有機會體會到它們的「共同發展」。因此，在理工學系第一個學年的「物理數學」課堂上，經常會發生擅長數學的學生感到有所不足，而不擅長數學的學生覺得心力不足，甚至心生厭惡：「學這個有什麼用處？」的情形。老實說，筆者從高中時就不擅長數學，在剛進入大學時感到相當挫折，不但對大一數學的嚴密性、抽象性感到卻步，也不敢與擅長數學的同學交流，覺得自己像是被擊倒了。若當時能知曉課堂教授的數學，是如何描述妝點、表達敘述物理學的世界，或許就比較不會感到那麼痛苦吧。

本書的預設讀者是像筆者一樣「不太擅長數學，卻想要學習物理學」的學生，透過比高中程度再稍難的數學，深入淺出地連結物理學，讓大家能體會到物理學和數學息息相關，並盡可能收錄大量的物理學例題，輔以漫畫特有的生動圖繪，幫助讀者在腦中建構出數學所描述的物理學世界。期望各位讀者在閱讀本書後，不由得會興奮難耐地覺得：「感覺有點困難，但再加把勁就會懂了。」

最後，感謝歐姆社的津久井靖彥編輯給予我本次撰述的機會、河村万理畫家幫忙畫出與筆者相似的主角深谷君、オフィスsawa的同仁負責製作，以及柴田普平先生幫忙做最終校正。

馬場彩

序言
序幕　家庭教師的我變成她的學生！？
第 1 章　什麼是物理數學？
物理與數學息息相關
高中物理與大學物理的差異
線性代數、向量與矩陣
微積分
向量分析
複數
既有趣又美麗的物理世界
第 2 章　線性代數
1什麼是純量、向量、矩陣、張量？
純量與向量
向量的成分表示
向量的大小、單位向量、基向量
什麼是張量？
矩陣的概念
2向量運算、矩陣運算
理解向量、矩陣的運算方法
什麼是反矩陣（逆矩陣）？
3使用矩陣聰明求解聯立一次方程式
簡化聯立方程式
 彈簧與重錘的問題
4使用矩陣做轉換
轉換後更容易理解
使用矩陣轉換的方法
什麼是映射？
5由本徵值、本徵向量瞭解矩陣的真面目
瞭解本徵值、本徵向量的意義
求反矩陣就是求解方程式
以矩陣檢查有沒有反矩陣
第 3 章　單變數函數的微積分
1從開車兜風感受微積分
回顧微積分
微分與導函數
導函數的數學意義
注意因次
微分的性質與導函數的求法
2 再做微分
嘗試微分兩次
「位置、速度、加速度」的微分關係
3 泰勒展開
簡化複雜的函數
透過導函數以直線表示曲線
均值定理
泰勒展開
泰勒展開的式子形式
馬克勞林展開的式子形式
從喜歡的地方剪斷來逼近！
 萬有引力的位能問題
4做積分
回顧積分
積分是相加細長的長方形
什麼是不定積分
物理量的因次與微積分
極座標的積分
求極座標的積分值
積分的應用
第 4 章　多變數函數的微積分
1多變數函數的「微分」
以多變數函數表示多方向的運動情況
單變數函數與多變數函數的差異
多變數函數偏微分後變成偏導函數
什麼是全微分？
偏微分的運算特徵
2使用偏微分表示波
多變數函數的波
固定時間的波變化
固定位置的波變化
對波動函數做偏微分
3圓柱座標、球座標的微分
圓柱座標的偏微分
球座標的偏微分
4多變數函數的「積分」
面積分、線積分、體積分
面積分（雙重變數的積分）的思維
面積分（雙重變數函數的積分）的運算
極座標、圓柱座標、球座標的積分
5什麼是微分方程式？ 
以微分方程式求函數的解
微分方程式的用語
微分方程式的解法
 輻射性同位素的原子衰變
 重錘、彈簧與黏性阻尼器的問題
第 5 章　向量分析
1梯度（grad）散度（div）旋度（curl）
什麼是向量分析
什麼是向量場？
向量的內積、外積
什麼是向量算符？
grad（梯度）運算能夠瞭解什麼？
div（散度）運算能夠瞭解什麼？
curl（旋度）運算能夠瞭解什麼？
2使用∇（Nabla）算符來簡化
超級便利的向量算符∇（Nabla）
3高斯定理
兩個積分定理
高斯定理就是散度（div）定理
史托克斯定理
史托克斯定理就是旋度（curl）定理
由史托克斯定理推得安培定理
某圓柱周圍的磁場結構
第 6 章　複數
1什麼是複數？
關於複數
在複數平面表示複數
複數的極式
歐拉公式
不停旋轉複數平面
導入複數來簡單處理波的問題
2以複數表示的簡諧振動、交流電路
簡諧運動與複數
交流電路的複數
尾聲
更進一步學習
索引

在高中物理，「速度」「速率」「加速度」是完全不同的概念。
意思相近的「熱量」和「溫度」也是不一樣的東西。
即便認為已經知道了，為慎重起見，還是複習一下──
速度〔m/s〕物體在單位時間內位置移動的大小和方向。

速率〔m/s〕僅表示速度的大小。

加速度〔m/s2〕速度在單位時間內變化的大小和方向。
熱量相當於能量，單位為J（焦耳）、cal（卡路里）。

溫度以數值表示的冷熱程度，單位為K（絕對溫度）、℃（攝氏溫度）等。

什麼是張量？
有些物理量更為複雜，無法以前面的純量與向量表來分類，如「轉動慣量」「應變（strain）」。

轉動慣量是指「物體旋轉時的容易程度」。
例）花式滑冰選手在定點旋轉的時候，將張開的雙臂（轉動慣量大）收合（轉動慣量小）可加快旋轉速度。

應變是指「物體受力時的變形程度」。
例）橡皮擦用力拉扯後，會橫寬變長、縱寬變短。