數值計算方法（簡體書）

本書是根據普通高等理工科院校“數值分析”和“計算方法”課程的基本要求，結合編者多年的教學實踐經驗編寫而成的.內容主要包括線性方程組的直接解法、線性方程組的迭代法、函數插值與逼近、非線性方程求根、數值積分與數值微分、矩陣特徵值的計算、常微分方程初值問題的數值解法等.本書注重讀者對算法基本思想和操作的掌握，旨在訓練讀者的數值計算素養.書中每個核心內容都配備了適當的例題和練習，每章後均配有適量的習題，便於讀者掌握和鞏固重點內容.
本書可作為普通高等院校數學專業和理工科各相關專業的本科生、研究生的“數值分析”和“計算方法”課程的教材或參考書.

隨著現代科學技術的迅猛發展以及計算機的廣泛應用，科學工程中涉及的數值計算問題越來越多.數值計算已成為繼理論和試驗方法之後的第三種科學研究手段,是人們進行科學活動必不可少的科學工具.培養學生具備數值計算的基本素養也成為理工科高等教育中的環節.數值計算方法主要介紹數值分析方面的基礎知識,使讀者理解數值方法如何使用以及有哪些限制,為讀者在後續工作中借助軟件工具解決實際問題中的數值計算問題奠定基礎.本書要求讀者熟悉微積分和線性代數的基礎知識,並有一定的編程基礎.書中提供了豐富的教學內容,可以滿足64學時的教學需求，任課教師也可以根據學時對內容進行適當的取舍.
“深化工程教育改革、建設工程教育強國”是當前我國工科教育領域的重大改革戰略目標,對服務和支撐我國經濟結構轉型升級意義重大.國家層面的政策措施對高層次工程人才的培養提出了更高要求.“計算方法”課程也被納入了眾多高校工科人才培養體系當中.考慮到這一部分讀者的需求和特點，本書力求將理論相關的內容以具體實例的形式呈現.例子不求複雜,盡量讓讀者能夠比較直觀地理解每一個核心知識點.本書的編者多年來給不同專業和不同層次的學生講授“數值分析”和“計算方法”課程,在編寫本書的過程中綜合對比了之前參考選用的教材,在前期課程講稿的基礎上修改完善,完成本書的編寫.書中內容基本涵蓋了求解各類數學問題近似解的基本和常用的方法,對每種方法給出了基礎的推導過程,進行了誤差分析,並結合具體實例對方法的原理和實際流程進行了闡釋.
隨著高等教育改革的不斷發展,各方面的教學改革仍在不斷深化.目前課程教學學時的明顯減少給教材的編寫提出了新的挑戰.考慮到這方面的限制，本書的內容在保證體系完整的前提下力求精練簡潔,對一些算法深入的內容沒有做細致的討論,讀者可以在需要時參考有關書籍.為了滿足讀者學習的需求，本書配有完整的習題解答和MATLAB程序包,我們對書中涉及的算法都給由了相應的MATLAB代碼,並結合例題對相關算法進行展示.有需要的讀者可以到本書配套的網站下載或聯繫作者獲取.
本書的編寫參考了國內外相關教材和專著，在此向原作者表示衷心感謝.由於編者水平有限，書中不當之處還請讀者批評指正.

編者

前言
第1章引論1
1.1數值計算的研究物件與特點1
1.2浮點數2
1.3誤差的相關理論3
1.3.1誤差的來源3
1.3.2誤差與誤差限4
1.3.3相對誤差與相對誤差限5
1.3.4有效數字5
1.4誤差的傳播7
1.4.1函數的誤差估計7
1.4.2算術運算的誤差估計8
1.4.3算法的數值穩定性9
1.5數值計算中需注意的問題11
1.5.1避免兩個相近數相減11
1.5.2避免大數“吃”小數的現象11
1.5.3避免值較小的數作為除數12
1.5.4簡化計算步驟,提高運算效率13
習題113
第2章線性方程組的直接解法15
2.1引言15
2.1.1向量和矩陣16
2.1.2矩陣的特徵值與譜半徑17
2.1.3特殊矩陣18
2.2高斯消元法及三角分解法19
2.2.1高斯消元法20
2.2.2LU分解23
2.2.3楚列斯基分解法27
2.2.4追趕法30
2.2.5選主元的高斯消元法32
2.2.6運算量分析35
2.3誤差分析35
2.3.1向量和矩陣的範數35
2.3.2矩陣範數38
2.3.3病態方程組與條件數40
習題244
第3章線性方程組的迭代法47
3.1引例47
3.2迭代法基本原理49
3.3經典迭代法53
3.3.1雅可比迭代法53
3.3.2高斯-賽德爾迭代法55
3.3.3松弛迭代法57
3.3.4經典迭代法的收斂性58
3.3.5外推法62
3.4速下降法與共軛梯度法63
3.4.1速下降法64
3.4.2共軛梯度法64
習題367
第4章函數插值與逼近69
4.1插值問題的提出69
4.2多項式插值70
4.3拉格朗日插值73
4.3.1插值基函數73
4.3.2拉格朗日插值函數74
4.3.3插值余項與誤差估計77
4.4牛頓插值80
4.4.1差商81
4.4.2牛頓插值多項式83
4.5埃爾米特插值85
4.6分段插值89
4.6.1高次插值與龍格現象89
4.6.2分段線性插值91
4.6.3分段三次埃爾米特插值91
4.7樣條插值93
4.7.1三次樣條插值函數93
4.7.2三次樣條插值的求解95
4.7.3誤差界與收斂性98
4.8三角插值與快速傅裡葉變換99
4.8.1三角函數插值99
4.8.2快速傅裡葉變換101
4.9曲線擬合的小二乘法104
4.9.1多項式擬合105
4.9.2指數函數擬合106
4.9.3分式函數線性擬合107
4.9.4線性小二乘法的一般形式107
4.10正交多項式110
4.10.1基本概念110
4.10.2常用的正交多項式112
4.11函數的佳平方逼近115
習題4117
目錄數值計算方法第5章非線性方程求根120
5.1二分法121
5.2不動點迭代法123
5.2.1不動點迭代法的一般形式和
幾何意義123
5.2.2不動點迭代法的收斂條件124
5.2.3局部收斂性與收斂階126
5.2.4斯特芬森加速方法128
5.3牛頓迭代法129
5.3.1牛頓迭代法及其收斂性129
5.3.2牛頓迭代法應用舉例132
5.4弦截法133
5.5拋物線法134
5.6非線性方程組的數值解法135
5.6.1非線性方程組135
5.6.2多變量方程的不動點迭代法136
5.6.3非線性方程組的牛頓迭代法137
習題5138
第6章數值積分與數值微分140
6.1數值積分概述140
6.1.1數值積分的基本思想140
6.1.2代數精度141
6.1.3插值型求積公式143
6.2牛頓-科茨公式和誤差估計145
6.2.1牛頓-科茨公式145
6.2.2牛頓-科茨公式的誤差估計147
6.3復合求積公式149
6.3.1復合梯形公式149
6.3.2復合辛普森公式150
6.4外推法和龍貝格求積公式152
6.4.1變步長求積公式152
6.4.2外推技巧153
6.4.3龍貝格求積公式154
6.5高斯求積公式156
6.5.1高斯點與高斯求積公式156
6.5.2高斯-勒讓德求積公式158
6.5.3高斯求積公式的穩定性159
6.6數值微分160
6.6.1中點公式與誤差分析160
6.6.2插值型數值微分公式162
習題6163
第7章矩陣特徵值的計算166
7.1特徵值的性質與估計166
7.2冪法和反冪法168
7.2.1冪法168
7.2.2反冪法171
7.3雅可比方法173
7.3.1實對稱矩陣的旋轉正交相似變換174
7.3.2求矩陣特徵值的雅可比方法175
7.4QR方法177
7.4.1豪斯霍爾德變換及矩陣的QR分解177
7.4.2基本QR方法180
習題7181
第8章常微分方程初值問題的數值解法183
8.1引言183
8.2歐拉方法185
8.2.1歐拉公式及其幾何意義185
8.2.2歐拉公式的變形186
8.3截斷誤差和方法的階188
8.4龍格-庫塔法190
8.4.1二階龍格-庫塔法191
8.4.2三階龍格-庫塔法192
8.4.3四階龍格-庫塔法193
8.5單步法的收斂性和穩定性194
8.5.1收斂性194
8.5.2穩定性195
8.6線性多步法197
8.6.1線性多步法的一般公式197
8.6.2亞當斯顯式與隱式公式198
8.6.3米爾尼方法199
習題8200
參考文獻202