睡夢中，學三角（簡體書）

面對數學課本中的三角函數，常會讓人感到頭昏眼花，成串的公式定理更是許多人產生困惑及排斥。你是不是經常會有這樣一種感覺：總是被一群公式定理追著跑，卻不知道為什麼要跑？如果你有這種感覺，那麼《睡夢中，學三角》就是為你而寫的三角函數學習書。

這本書中有兩位主角：一位是愛打瞌睡的小平，他的數學老師叫作“老罩”（老是罩不住）；另一位是大M，是小平在睡夢中遇見的“數學守護神”。作者藉由小平和大M的對談，巧妙地將許多學習的過程以靈活的思維，解析三角函數的含義。交流中，告訴讀者如何去學習，用貼近生活的實例來啟發思考的途徑，把每個章節的公式、應用問題觀念串聯。書中小平的錯誤也是許多人在學習過程中的盲點，可以說是最貼近學生的縮影。

為何要學？如何去學？學過之後如何應用？書中都有詳細的闡述，不同於一般的教科書，它以幽默風趣的教學，帶領讀者領會數學的魅力，熟悉三角函數背後的運作邏輯，讓對學習三角函數感覺挫折的學生，能夠重拾信心，也幫助學生建立起歸納整理的學習能力，避免出現囫圇吞棗、拼命死背的情形，而導致學習流於形式。

本書強調的一種思想是：數學不要死記硬背。告訴那些數學弱項的孩子，不要放棄數學，因為只要方法和方式正確，就能成為學習數學的武林高手。讓你走出以背公式來應試的機械式學數學的沼澤，成為自由駕馭數學的主人。採用幽默的對話方式，帶讀者深入思考，深入淺出學習三角函數。

你希望自己從看到公式就頭大，一躍而成為一流的數學高手嗎？閱讀這本書，也許這個改變也會發生在你的身上。

木棉，世界top100大學電氣工程博士，高校老師。曾於1993 ~ 1996年及2003年分別赴瑞士蘇黎世聯邦理工學院和新加坡南洋理工大學從事研究工作，並於國際知名期刊與會議上發表數十篇專業論文。由於喜歡教學工作，他投注相當多精力以提升教學內涵，並獲得相關方面的重要獎項。

一本指導獨立思考式學習數學的參考書。幫助在數學三角函數上遭受挫折的學生，重拾學習動力。世界TOP100大學博士腦洞之作，數學特級教師、教育部國培計劃數學專家鼎力推薦。

●世界TOP100大學電氣工程博士 木棉先生 腦洞顛覆之作

●上海市特級教師、數學正高級教師、教育部“國培計劃”數學專家翟立安鼎力推薦

●一本指導獨立思考式學習數學的參考書——多項觀點，一種答案

●幫助在數學上遭受挫折的學生，重拾學習動力

●只要方法正確，就能成為學習數學的武林高手！

●著眼於新知識的探索過程與方法，而不僅僅是著眼於知識本身

●熟悉三角函數背後的運作邏輯，擺脫被公式牽著鼻子走的命運

●跟小平一起與數學守護神相遇吧！讓守護神教你數學高手不可錯過的三部曲吧：了解源頭——>建構核心知識框架——>練習題目

●適讀：初、高中學生及所有想學好數學三角函數的人

作者通過神話般故事把三角函數的來龍去脈與核心知識敘說得清清楚楚、明明白白，為讀者揭開了三角函數的“神秘面紗”，不但領著讀者進入了一個美妙的三角世界，而且打通了讀者理解三角函數精髓的“任督”二脈。

——翟立安（上海市特級教師、數學正高級教師，教育部“國培計劃”數學專家）

身為數學教師，我會鼓勵同學看這本書，我也從中學到一些和我平常不一樣的想法。有這樣的書，能讓學生以較輕鬆的心情來學習三角函數，也是一項不錯的選擇。

——石碇高中 Sonic老師

前 言

我有一個學生，他的數理成績非常好。這位學生會以愉快的心情學習知識，遇到難題時，不僅不會退縮，反而以積極的態度面對，並且樂在其中，留給人的是陽光男孩般的感覺。

有一回，我問他是不是從小數學就學得很好？出乎意料的是，他說以前成績在班上頂多算是中等，和其它同學一樣，每天到學校上課，放學後就去補習，最後拖著疲憊的身心回家，但成績就是沒有進步。

後來，他碰到一位特別的老師，這位老師不教題型或解題技巧，也不要求背公式定理，卻要他思考：

●為什麼要學這個單元？

●它和以前學過的單元有什麼關係？

●這個單元帶來哪些新觀念？

在解題時，這位老師不會在乎正確答案，卻要他從不同觀點思考問題，最好能想出兩種以上的解法，再由討論中，找出哪一種是最佳的做法。

在這樣的學習方式下，這位陽光男孩逐漸體會數學的內涵，慢慢發覺隱藏在定理公式背後的智能，頭腦越來越靈活，成績也越來越好，更重要的是，越來越喜歡上數學課了。

許多人都聽過類似的故事，但如何讓“故事”變成“事實”，而不是聽完就結束，船過水無痕呢？本書透過虛構的人物，以具體的方式，呈現一位在數學上飽受挫折的學生，一步一步改變的歷程。我希望讀者能由閱讀的過程中，實際參與這個歷程，或許這個改變，也會發生在你的身上。

木棉

屋梁上的兩只貓咪

Part A：三角函數的由來及基本特性

第1堂課：為何是“三角”函數？

第2堂課：直角三角形的特性

第3堂課：兩種觀點，一個答案

第4堂課：余角關係和特別角

第5堂課：如何應用三角函數？

附記：放不放臺風假？

Part B：廣義角與廣義三角函數

第6堂課：為何引入廣義角？

附記：數學也分級？

第7堂課：負角及正負角互換

第8堂課：廣義三角函數

附記：廣義三角函數，必須定義在單位圓上嗎？

第9堂課：負角三角函數

附記：如何熟悉廣義三角函數？

第10堂課：補角關係

第11堂課：余角關係

Part C：三角形邊角關係

第12堂課：三角形面積

附記：綴補缺塊

附錄：一元二次方程式

第13堂課：正弦定理

第14堂課：余弦定理

Part D：三角函數圖形及角度公式

第15堂課：三角函數的圖形

附記：函數圖形之美

第16堂課：弧度是什麼？

第17堂課：函數圖形的變化

第18堂課：和角公式及其延伸

第19堂課：和差與積互化

Part E：反三角函數與復數極式

第20堂課：反三角函數

第21堂課：正余弦函數的疊合

第22堂課：復數極式與極坐標

第23堂課：奇妙的復數乘除

第24堂課：棣美弗定理

第25堂課：復數的n次方根

夢醒時分

內文精彩片斷摘錄：

１、用心思考的好處是能精練知識，最後只留下真正有用的公式、定理和觀念。有人說，一流學生的頭腦裡，儲存的東西並不多，卻是最精銳的特種部隊，隨時可以上戰場克敵制勝；而許多學生的頭腦裡，裝滿一堆雜亂無章的公式定理，就像一群烏合之眾，一上戰場就作鳥獸散，之前的學習變成白費力氣。 P34

２、“可是數學和我的生活無關啊！我上網或交女朋友，都用不著，為什麼要學？”

“你說的沒錯！95%以上的人，一輩子會用到的數學只有加減乘除，換句話說，小學四年級學到的數學就夠用了，不需花力氣繼續學下去。”

“但是，數學不僅為了應付日常生活，想想看，如果沒有深厚的數學作基礎，當初哥白尼就無法推翻太陽繞地球轉動的想法；牛頓也不可能證明萬有引力定律，人類也無法登陸月球，現在更別說探測火星了；如果沒有數學理論支持，我們無法蓋出100層的摩天大樓，也不敢建造跨海大橋，更不知道怎麼設計飛機和航天飛機，人類的活動範圍將大大受限。”大M說明他對數學的看法。P50

3、公式定理不是用背的，而是像吃好東西一樣，要慢慢嚼細細咽，直到那個味道自然留在腦海中為止。 P95

4、“其實‘難’可以分為兩種，第一種是‘真正的難’，它的概念非常抽象，背後的邏輯相當隱晦，需要非常深入的思考，才能夠理解。在高等數學裡，有些定理觀念是屬於這一類型，它們真的很難，一般人很難理解。不過，在高中階段所學習的數學，觀念都很直接，邏輯也很簡單，所以都不屬於這一類型，換句話說，高中階段並沒有真正難的數學。”P162

5、“一般高中生所謂的難，其實是‘不熟悉的難’，即所要學的概念本身並不難，但由於不熟悉它背後的運作邏輯，所以讓人感覺難。大多數人都有這樣的經驗：小學六年級的時候，回頭看四年級的分數運算，會覺得很簡單，但在四年級的時候，學起來並不容易；同樣你現在回頭看以前學過的二元一次方程式，會覺得很簡單，但當時可能傷透腦筋。為什麼呢？因為小學六年級已經熟悉分數的運算邏輯，而你現在已經熟悉未知數的概念，所以就不覺得難了。”P163

6、“復數極式就跟打球一樣，雖然一開始看來有點像庸人自擾，但後來大家發覺它帶來許多意想不到的好處，成為現代科學及工程上處理問題的利器。”

“所以現在學習復數極式，是為了將來作準備？”小平問。

“沒錯，復數極式為我們打開另一扇窗，讓我們得以窺知另一個數學世界，就像航天飛機一樣，讓人類得以探索另一個星球。”大M愉快的回答，接著說：“這堂課就上到這裡，下一堂課我們由這個概念延伸，你會發現許多有趣又有用的結果。”

小平沒想到，復數和三角函數，一個處理數字運算，一個處理幾何圖形，似乎八竿子打不著，可是借著坐標系統，兩者卻能自然結合在一起。P326

7、“數學本來就很奇妙，只是需要我們去發掘。大部分人學數學，都像走馬觀花一樣匆匆而過，既不會看到路邊盛開的野花，也聞不到空氣中彌漫的花香，當然不覺得數學有趣。有空多想想，你會得到許多意想不到的驚喜!” P222