數學女孩物理筆記：牛頓力學

★★★臺灣大學物理系教授朱士維、師大附中物理科代理教師李荐軒 審訂★★★

暢銷科普輕小說「數學女孩」推出全新系列「物理筆記」！

由「我」和由梨、蒂蒂、米爾迦三位數學女孩，共同探討物理的奧妙。
牛頓運動方程式、萬有引力定律、力學能守恆定律、動能、位能……透過人物之間的對話，可以仔細解讀在物理學中容易讓人無法理解的部分，也能對牛頓力學有著更扎實的認識，同時也能享受到一些樂趣。
這就是前往物理學的第一步。

本書的主題是在高中物理中首次學習到的「牛頓力學」。
講述投球和拉彈簧的物理學是具體易懂的。但是，在處理像「力量」和「能量」這樣肉眼看不見的東西時，很多學習者都會感受到似懂非懂的焦躁。
另外，物理學中出現的公式也容易妨礙學習者的理解。
如果無法理解清楚使用公式的理由和公式是用來表示什麼的，就會讓人留下模糊的印象，搞不清楚「到底是在做什麼」。
在本書中，通過登場人物們的對話，精心闡明相關物理學的知識。
另外，也好好回答了「為什麼會是這樣的概念」，以及「為什麼那個式子是成立的」這樣直接又儉樸的問題。

通過本書，一邊享受一邊好好地理解作為學習物理學第一步的牛頓力學吧！
這本書除了適合給國、高中生讀，也很推薦給想從基礎開始重新學習物理學的大學生和社會人士。

在第1章中，思考投出去的球為什麼會呈抛物線飛行。從直觀的話題開始思考「觀察球的運動」是怎麼回事。學習伽利略進行的實驗及其科學意義，體驗、發現到平時我們認為理所當然的事情中，其實也有很多意想不到。

第2章中，為了詳細觀測球的運動而解測了必要的事物。在仔細確認時間、位置、速度、加速度、質量以及力等物理學的基本用語意思後，學習「牛頓的運動方程式」。另外，具體確認「積分」的計算相當於圖表的面積。

在第3章中，我們將學習牛頓發現的「萬有引力定律」，同時並一步步確認使用公式分析來自重力的質點運動。在這過程中，將討論物理學和數學的關係，以及為什麼要在物理學中使用公式。

在第4章中，學習「動能」「位能」以及「力學能」。仔細確認定律的含義之後，才能了解定律在物理學中的作用。另外，也學習在物理學中使用公式的意義和「微分」的計算。

在第5章中，將更深入理解力學能量守恒定律，然後學習很難理解的「作工」和「能量」的關係，同時進一步學習物理學中必要的數學，如「向量」和「內積」。 以數學式導出「彈簧彈力產生的位能」和「萬有引力產生的位能」等。

就像薛丁格說的，
這個世界複雜得讓人感到困惑，
從已知事物中找出規則，就是一種奇蹟。
——尤金．維格納

丟出去的球正在往上飛。
飛行中的球正在往下墜。
這些事看起來都理所當然。
習慣後的事都是理所當然。

丟出去的球，為什麼會往上飛？
飛行中的球，為什麼會往下墜？
越是追問下去，越覺得不可思議。
在已習慣的世界中，充滿了不可思議。

放開手之後，蘋果會下墜
蘋果離手後，為什麼會下墜？

夜空中的月球，為什麼不會下墜？
還是說，月球也在下墜中呢？

克卜勒、伽利略、牛頓。
他們發現了什麼呢？
他們問了什麼問題呢？
他們說了什麼話呢？

我們看到了什麼呢？
我們問了什麼呢？
該用什麼樣的言語，
說明隱藏在世界中的定律呢？
該用什麼樣的言語——來描述一切呢？

～～海外讀者好評不斷～～

●仔細解說了作為力學基礎的自由落下，很有趣。 不僅僅是對落下的相關法則進行一般的說明。 因為提出問題的視角很有趣，所以能興奮地學習在一般情况下會覺得很無聊的部分。在高中開始學習物理的時候就讀這本書會很好。

●將牛頓力學的推導過程，以順暢易懂，容易表達的方式表現出來，從高中物理初學者到已經修完課程的人，都能覺得有趣的一本書。最好的就是自己被登場人物們的問答吸引，自然地就下筆如有神。

●有著在專業書籍中沒有的切入點，讓人能享受物理的樂趣。 推薦給對背誦公式感到疲憊的人。

●我是數學女孩系列的粉絲。 這是第一次接觸物理講座，我讀得津津有味。 說起來，學習數學的人中，只有少數人能成為數學家。 大部分人都將數學當作工具，所以我認為應該有更多像本書這樣的搭配寫法。

作者
結城 浩

1963年生。2014年日本数学会出版賞得主。執筆寫作有關程式語言、設計模式、密碼、數學等領域的入門書。最新著作是「數學女孩系列」。是一個最喜歡巴哈的「賦格的藝術」作品的新教基督徒。出版有2011《數學女孩／費馬最後定理》，2012《數學女孩／哥德爾不完備定理》，2013《數學女孩／隨機演算法》、2014《數學女孩／伽羅瓦理論》（世茂出版）、2021《數學女孩》、2015—2022《數學女孩秘密筆記》系列。
http://www.hyuki.com/

譯者
陳朕疆
自由譯者。清大生命科學系學士、政大財務管理系碩士、京都大學農學部交換一年。現為專職譯者，譯有多本科普、商管書籍。
YouTube頻道「譯人豆奶」
Facebook粉絲專頁「譯人豆奶」@TranslatorDodomilk

就像薛丁格說的，
這個世界複雜得讓人感到困惑，
從已知事物中找出規則，就是一種奇蹟。
──尤金．維格納

丟出去的球正在往上飛。
飛行中的球正在往下墜。
這些事看起來都理所當然。
習慣後的事都是理所當然。
丟出去的球，為什麼會往上飛？
飛行中的球，為什麼會往下墜？
越是追問下去，越覺得不可思議。
已習慣的世界中，充滿了不可思議。
放開手之後，蘋果會下墜。
蘋果離手後，為什麼會下墜？
夜空中的月球，為什麼不會下墜？
還是說，月球也在下墜中呢？
克卜勒、伽利略、牛頓爵士。
他們發現了什麼呢？
他們問了什麼問題呢？
他們說了什麼話呢？
我們看到了什麼呢？
我們問了什麼呢？
該用什麼樣的言語，
說明隱藏在世界中的定律呢？
該用什麼樣的言語──來描述一切呢？

獻給你
序章

第1章 丟球
1.1 由梨的疑問
1.2 為什麼有這個疑問？
1.3 伽利略的實驗
1.4 科學與實驗
1.5 朝水平方向丟球的實驗
1.6 水平方向與垂直方向
1.7 再次面對由梨的疑問
1.8 牛頓運動方程式
●第1 章的問題

第2章 牛頓運動方程式
2.1 力與加速度成正比
2.2 質量
2.3 力
2.4 由「速度」求出「位置」
2.5 「力」→「加速度」→「速度」→「位置」
2.6 函數
2.7 不管哪個時間點都成立
2.8 不管哪個方向都成立
2.9 丟球
2.10 列出兩條牛頓運動方程式
2.11 x方向：「力」→「加速度」
2.12 x方向：「加速度」→「速度」
2.13 x方向：「速度」→「位置」
2.14 y方向：「力」→「加速度」
2.15 y方向：「加速度」→「速度」
2.16 y方向：「速度」→「位置」
2.17 由梨的疑問
●第2 章的問題

第3章 萬有引力定律
3.1 在高中
3.2 萬有引力定律
3.3 人為決定的座標軸
3.4 積分
3.5 物理學與數學的界線
3.6 不只是為了標出位置
3.7 丟出去的球回到原處的時間點
3.8 丟出去的球回到原處的速度
3.9 丟出去的球可以飛到多高
3.10 求出速度的最大值
●第3 章的問題

第4章 力學能守恆定律
4.1 力學能守恆定律
4.2 動能
4.3 位能
4.4 力學能
4.5 求出速度
4.6 求出位置
4.7 這是新的物理定律嗎
4.8 米爾迦
4.9 想要證明
4.10 想要發現
4.11 想要自然地發現
4.12 想要更自然地發現
●第4 章的問題

第5章 飛出宇宙
5.1 乘上m 的意思
5.2 把焦點放在位能
5.3 功
5.4 把焦點放在動能
5.5 功能原理
5.6 另一條路徑
5.7 力與位移方向不同時的功
5.8 力隨時間改變時的功
5.9 功
5.10 保守力作的功
5.11 所以，力學能究竟是什麼
5.12 數學是語言
5.13 衍生自彈簧彈性能力的位能
5.14 衍生自萬有引力的位能
5.15 飛出地球需要的速度
●第5 章的問題

尾聲
解答
給想多思考一點的你
後記
參考文獻與延伸閱讀
索引

第1章 丟球
「要回答『為什麼？』不是件容易的事，為什麼呢？」

1.1 由梨的疑問
這裡是我的房間，現在是週六下午。
由梨和平常一樣來我的房間玩。
由梨：「為什麼球是拋物線呢？」
我：「為什麼由梨會突然問出這個問題呢？」
由梨：「為什麼哥哥要用問題來回答問題呢？」
我：「由梨不也是用問題來回答問題嗎？」
由梨是國中生，我是高中生。
她是我的表妹，不過我們小時候就常一起玩，所以她總是叫我：「哥哥」。
由梨：「別談這個了啦。到底為什麼球是拋物線啊？」
我：「妳的問題省略太多關鍵字囉。由梨想問的應該是『為什麼球被丟出去後，軌跡會是拋物線呢？』才對吧。球本身並不是拋物線喔。球被丟出去後，飛行軌跡才是拋物線。」
由梨：「哥哥又在糾結這種細節了。所以呢？到底為什麼球被丟出去後，會畫出一條拋物線呢？簡短說明清楚！」
我：「如果一定要簡短說明，這是因為球被丟出去之後
‧水平方向為等速度運動，
‧垂直方向為等加速運動。
──大概就是這樣吧。垂直方向就是重力的方向喔。」
由梨：「……果然還是別說比較好。先這樣啦，拜拜！」
由梨揮了揮手，假裝要回去的樣子看著我。
我：「等一下！」
我大動作地伸出手臂，像是在求她不要走一樣。
由梨：「你說得那麼複雜我聽不懂啦！」
我：「那是因為由梨要我『簡短說明』啊。」
由梨：「人家想要馬上就聽懂嘛！」
我：「突然要人簡短說明清楚並不容易啊。」
由梨：「咦，有那麼困難嗎？」
我：「如果照順序一一說明就不難囉。要聽聽看為什麼球被丟出去後會變成拋物線嗎？」
由梨：「快說快說！……但是哥哥，被丟出去的球不會變成拋物線啦，是球的軌跡會變成拋物線才對！」
就像關係很好的搭檔一樣，我和由梨的對話由此開始。

1.2 為什麼有這個疑問？
我：「認真來說明吧。由梨想問的是『為什麼球被丟出去後，飛行軌跡會是拋物線？』對吧？」
由梨：「嗯，沒錯。」
我：「不過，由梨已經知道『球被丟出去後，飛行軌跡會是拋物線』了。為什麼還會有疑問呢？」
由梨：「想來想去之後，突然覺得『為什麼勒？』。」
我：「我就是在問妳是想了什麼，才會想問這個問題喔。」
由梨：「呵呵……。確實，我本來就知道球被丟出去後，飛行軌跡會是拋物線。但是啊，不管丟的力道很強，還是很弱，或者說不管丟出去的力道有多強，飛行軌跡都是拋物線對吧？我覺得這很不可思議。」
我：「原來如此。」
由梨：「還有啊，球可以丟高也可以丟低對吧。在玩傳接球的時候，必須調整丟球的角度，讓對方接得到球才行。不過不管從哪個角度丟球，都會丟出拋物線對吧？我覺得這也很不可思議。」
我：「原來如此啊……」
由梨：「就是這樣。所以呢？為什麼呢？」
我：「嗯。讓我們來想想球被丟出去後會以什麼方式運動吧。首先考慮球落下時的情況，就像伽利略．伽利萊那樣。」

1.3 伽利略的實驗
由梨：「我知道伽利略！」
我：「伽利略曾經透過實驗研究物體的運動。」
由梨：「實驗？好像自然課喔。」
我：「學校之所以要教實驗，就是因為實驗對科學來說很重要。而說明了實驗重要性的人，就是伽利略。當時的人們總是依賴文獻做研究，伽利略則是以實驗依據，研究物體的運動。」
由梨：「咦──其他人不會真的去丟球嗎？」
我：「雖然每個人都知道，把球丟出去，球就會畫出一道曲線軌跡，然後落地。但沒有人真的做實驗確認球會以什麼軌跡飛行與落地。」
由梨：「只要把球被丟出後的樣子拍成影片不就好了嗎？」
我：「伽利略拍不了影片啦。」
由梨：「為什麼拍不了影片呢？」
我：「伽利略生活在16到17世紀，攝影機要到19世紀才發明出來。也就是說，伽利略是在沒有攝影機的時代做實驗喔。」
由梨：「原來那時候還沒有攝影機啊！……等一下，那他要怎麼做實驗？」
我：「球掉落的速度很快，所以很難測出球在哪個時間點，落下了多少距離。於是，伽利略改讓球在斜面上滾動。」
由梨：「這是為了讓球變慢，讓他比較好測量嗎？」
我：「沒錯。他製作了一個數公尺的板子，在上面挖一條筆直的溝，磨平後鋪上光滑的羊皮紙。接著將板子的一端抬起數十公分，讓黃銅製的球從高處自然滾下，並計算球滾到底部時需要的時間。」
由梨：「這樣啊……」