量子信息簡明教程（簡體書）

《量子信息簡明教程》從量子力學與信息論的基礎出發，系統且完整地介紹了量子信息領域的基礎知識，包 括量子信息科學所需的線性代數與信息論數學基礎、量子系統的基本描述與一般描述、量子系統中的現象與應用，以及量子信息論與量子糾纏的初步介紹。此外，《量子信息簡明教程》還涵蓋了一些近期量子信息領域研究方向的發展。《量子信息簡明教程》可作為量子信息專業的基礎課程或物理專業的通識課程教材使用。

馬雄峰，2003年畢業於北京大學並獲得學士學位，2008年於多倫多大學獲得博士學位。2012年加入清華大學交叉信息研究院，現任博士生導師，長江學者。主要研究興趣在量子信息科學，特別專注於量子密碼、量子計算和量子基礎。擔任Optica、PRL等學術期刊的副主編及編委會成員。根據1992年至2019年全球出版物的科學計量評估，ResearchGate將其評為全球在量子密碼學領域最具影響力的研究者之一。
張行健，2018年畢業於南開大學電子信息與光學工程學院獲得學士學位，2023年在清華大學交叉信息研究院取得博士學位。研究興趣包括量子密碼、設備無關量子信息處理、量子資源理論等。
黃溢智，2019年畢業於南京大學物理學院獲理學學士學位，現於清華大學交叉信息研究院攻讀物理學博士學位，研究興趣包括量子密碼、量子通信等。

《量子信息簡明教程》基於作者10多年姚班教學積累而成，系統且完整地介紹了量子信息領域的基礎知識，可為進一步了解甚至進入量子信息前沿領域研究打好基礎。

19世紀末，物理學界普遍認為基本的物理原則已被牢固地建立起來，物理學的未來“要在小數點的第6位找到”。但在解釋黑體輻射的“紫外災變”問題時，普朗克的能量量子化卻顛覆了傳統的統計力學理論，由此引出了物理學的新篇章——量子力學。量子理論無論在解釋微觀物理現象還是工程應用上都迅速發揮了巨大作用，激光的發明和大規模集成線路的應用更是讓“量子”這一概念深入人心。盡管量子理論與我們所觀測的物理現象高度吻合，但在如何理解其基本原理這一問題上，卻始終存在著巨大的爭論。其中最有名的，是愛因斯坦和玻爾對物理測量是否可以產生不可預測隨機性的世紀之爭。隨著貝爾不等式的提出及其實驗驗證，今天大部分人接受了量子力學及其蘊含的內稟隨機性。當然，經典力學，包括牛頓力學和麥克斯韋的電磁方程，在很多情況下，特別是對許多宏觀物理現象的解釋中，依然是非常好的一個近似。
20世紀科技領域另外一件大事是計算機的發明和信息技術的發展。理論方面，圖靈、馮·諾依曼建立起了通用計算任務的數學模型，明確了可計算與不可計算任務的分界線；香農將信息的概念從具體的文字、圖像、聲音中抽象為概率與信息熵；在對複雜動力系統的研究過程中，人們又逐漸建立了計算複雜性、通信複雜性的概念。與此同時，硬件製造上的突飛猛進也支持了信息技術的高速發展。隨著半導體工藝、存儲技術、光纖等的不斷迭代更新，早期龐大、低效、單一的電子管計算機已經發展成了小型、高速、可以通過互聯網連接的計算網絡。無須多言，計算機與信息技術的力量已經深入生產生活的各個方面。
在量子力學和信息技術的發展過程中，人們逐漸意識到，信息是物理的，物理也是信息的，可以利用量子力學的手段來處理信息。在計算領域，這一可能性最早由蘇聯數學家馬寧與美國物理學家費曼等人意識到。為了分析許多複雜的物理過程，比如黑洞的動力學演化，與其用電子計算機“離散”地求解方程，不妨將其自然地對應到相似的物理過程，比如凝聚態物理中的現象，直接用這一量子過程進行“模擬”計算。同一時期，在通信與密碼領域，人們注意到利用量子力學的內稟隨機性，可以實現量子密鑰分發等具有信息論安全性的隱私通信——這在經典世界甚至是完全不可能的！隨著研究的深入，人們逐漸發掘出基於量子原理進行安全信息傳輸的巨大潛力，發現了具有指數加速的量子算法，超越僅用經典物理過程進行精密測量的精度，等等。於是，量子信息科學這個交叉領域應運而生，並漸漸成為計算機科學與物理學的重要分支。你能聽到計算機科學家們在討論量子複雜性、量子貨幣，也能看到物理學家們在研究黑洞信息熵、量子人工智能。2022年的諾貝爾物理學獎授予了三位在貝爾不等式、量子糾纏等方向做出了開創性研究的物理學家，以表彰他們為奠定量子信息科學基礎的重要貢獻。量子信息無疑是近年來最火爆、最有活力的科學研究方向之一。
不止是理論研究本身，經過四十余年的發展，關於量子信息的一些初期理論構想、實驗演示，現在已經成為快速發展的新興產業。近期，谷歌、中國科學技術大學等團隊展示了“量子優越性”，驗證了量子計算相比於經典計算的優勢；我國與歐盟多國之間已經建成了天地一體化的洲際量子通信網絡。大量量子信息相關企業也陸續成立，國內的國盾量子、問天量子，國外的MagiQ、ID Quantique、Xanadu、Rigetti Computing等，都得到了投資人的青睞。而老牌的互聯網和計算機硬件公司，谷歌、IBM、亞馬遜、騰訊、阿裡、百度等，也都不甘落於人後，紛紛成立了自己的量子實驗室。一些量子應用，比如量子密鑰分發、量子隨機數產生、量子精密測量，不僅已經有了相對成熟的商業化產品，相關的標準化工作也已開始推進，為進一步的產業化鋪墊道路。
在前沿研究之外，現在國內外許多一流高校、研究所已經開設了大量量子信息相關課程，作者在清華大學也已開展了近十年的量子信息教學。2021年，在我國新增的高校本科專業中，就包含了量子信息科學。在此背景下，系統且兼具前沿性的量子信息教學變得愈發重要。從20世紀90年代開始，國際上陸續有不少很好的量子信息方面的教材，國內的一些學者也引入了這些教材，並進行了很好的翻譯。然而，在本書作者參與大學課程教學的時候發現，這些教材大多並不適合一學期的教學，特別是為初學者入門使用。經過近十年教學的積累，我們把相關的課件整理，形成了這一本書。這裡，我們主要介紹量子信息科學的基本概念，而不深入討論量子密碼學、量子計算等專業方向知識。希望這樣一本書可以作為理工科大學量子信息教材或者參考書，在大約一學期的課程時長內幫助同學們掌握量子信息理論的基礎，掃清他們進一步了解甚至進入量子信息前沿領域研究的知識障礙。同時，也希望本書可以作為一本自學的書籍，特別為具有一定線性代數背景且對量子信息感興趣的讀者，能夠幫助他們了解一些在文獻閱讀中可能會碰到的量子信息的專業術語與概念。
在本書的內容安排上，我們在第0章首先介紹必要的數學知識，以及量子信息領域內常用的符號表示，包括量子力學基本描述、線性代數、概率論、香農信息論基礎等內容。對這些內容熟悉的讀者，可以很快地瀏覽相關內容，然後進入對量子信息知識的學習中。在本書的主體部分，我們依次介紹量子系統的基本描述、量子系統的一般描述、一些有趣的量子現象和應用、量子信息論初步。具體而言，
（1）在第1章，通過單體量子系統，說明在量子力學中如何表示一個物理系統，給出可觀測量的定義及封閉系統演化的數學描述，在此基礎上，介紹實驗中確定量子態的基本方法，以及說明量子力學所給出的信息守恒規律。
（2）在第2章，將考慮更為一般的多體量子系統，在對子系統的描述過程中，將引入必要的統計力學方法------密度矩陣，以及偏跡等數學運算，並由此給出最一般量子態的定義及性質；此外，也將給出最一般的測量過程、量子操作、量子系統演化的定義。
（3）在第3章，將綜合運用第1章和第2章的內容，研究三種有趣的量子現象和應用：貝爾不等式、量子密集編碼、量子隱形傳態。通過這些內容，我們將更加深刻地認識到量子力學和經典力學之間的差異，並初步感受到量子力學在信息傳輸方面的價值。
（4）在第4章，將初步介紹量子信息論。我們首先將香農信息論中信息熵的概念推廣到量子世界中。量子信息熵相比於經典信息熵有許多不同之處，導致這些差異的一個重要原因是量子糾纏，對此我們將簡單介紹量子糾纏的一些核心概念。最後，將初步介紹量子通信與編碼，並給出系統性研究此問題的框架。
若讀者擁有良好的線性代數基礎，大多數內容通過學習本書前序知識，便可以無障礙地逐漸深入。有些章節難度較高，或需要額外的前置知識幫助理解，對這些內容，我們用星號予以標注。在第一次學習或基礎課程講解時，可以跳過這些內容。此外，我們對每章內容都配以一些習題，鼓勵讀者們進行適當的練習，以鞏固所學內容。
這裡，我們要特別感謝過去這些年作者開展量子信息相關課程時的助教們：袁驍、張振、趙琦、彭天翼、周泓伊、曾培、陳森睿、吳蔚捷、張藝泓、唐一凡、余文峻、劉振寰、鄢語軒、陳俊杰、張辰逸、劉國定、劉鵬宇。他們很大程度上參與了課件底稿的準備。事實上，兩位作者張行健和黃溢智做過多次相關課程的助教。同時我們也非常感謝參與這些課程的同學們的反饋。正是來自他們提出的很好的問題和關於教學的反饋，使得我們的教材能夠更加全面、易讀。

第0章 線性代數與經典信息論基礎 1
0.1 數學記號 1
0.2 希爾伯特空間表示 2
0.2.1 狄拉克符號 2
0.2.2 希爾伯特空間 3
0.2.3 射線 4
0.3 矩陣運算 5
0.3.1 矩陣基本運算 5
0.3.2 直和與張量積 9
0.3.3 偏跡 11
*0.3.4 張量網絡 13
0.3.5 方陣的解析函數 15
*0.3.6 一般矩陣的解析函數 18
0.4 經典信息論簡介 21
0.4.1 香農熵 21
0.4.2 數據壓縮 22
0.4.3 其他的熵形式信息量 28
0.4.4 信道編碼 29
0.4.5 Rényi熵 31
習題 33
第1章 量子系統的基本描述 35
1.1 量子純態 35
1.1.1 量子態空間與態疊加原理 35
1.1.2 量子比特 36
1.1.3 復合系統 38
1.1.4 量子態的密度矩陣表示 39
1.1.5 實際物理系統 40
1.2 測量 41
1.2.1 可觀測量 41
1.2.2 投影測量 43
1.3 幺正變換 45
1.3.1 量子演化的數學表示 45
1.3.2 典型幺正矩陣 46
1.3.3 高維幺正變換 48
1.4 確定量子態 53
1.4.1 布洛赫球面 53
1.4.2 量子比特基 55
1.4.3 量子層析術 56
1.5 量子信息守恒 58
1.5.1 量子不可克隆定理 58
1.5.2 量子不可刪除定理 60
1.5.3 不存在通用的非門 61
習題 63
第2章 量子系統的一般描述 66
2.1 兩體量子純態 66
2.1.1 兩體量子系統與量子態 66
2.1.2 施密特分解 68
2.1.3 有趣的“悖論” 69
2.2 一般態 70
2.2.1 從偏跡到子系統的密度矩陣 70
2.2.2 純態的混合 73
2.2.3 混態的純化 76
2.2.4 混態的布洛赫球表示和量子層析 79
2.2.5 量子態距離的度量 81
2.3 一般測量 82
2.3.1 正定算子測量 82
2.3.2 Naimark 定理 85
2.3.3 量子儀器 87
2.3.4 聯合測量和貝爾態測量 88
2.4 一般的量子操作 88
2.4.1 量子信道 89
2.4.2 主方程 92
2.4.3 Stinespring延拓 93
2.5 帶有噪聲的量子演化 94
2.5.1 隨機幺正演化導致的演化過程 94
2.5.2 信息丟失導致的演化過程 96
2.5.3 去極化信道 97
習題 99
第3章 有趣的量子現象和應用 103
3.1 貝爾不等式 103
3.1.1 從EPR佯謬到貝爾定理 103
3.1.2 Clauser-Horne-Shimony-Holt不等式 106
3.1.3 非局域博弈 110
3.1.4 貝爾實驗的漏洞 113
3.1.5 CH不等式和Eberhard不等式 115
3.2 量子密集編碼 118
3.2.1 基本編碼 118
3.2.2 量子密集編碼 119
3.3 量子隱形傳態 121
3.3.1 純態的傳輸 121
3.3.2 糾纏交換 123
3.3.3 遠程態制備 125
3.3.4 使用隱形傳態來進行操作 127
習題 130
第4章 量子信息論 133
4.1 量子熵 133
4.1.1 馮·諾依曼熵 133
4.1.2 量子相對熵 135
4.1.3 其他的量子熵 137
*4.1.4 熵函數的公理化推導 140
4.2 量子糾纏初步 141
4.2.1 可分態與糾纏態 141
4.2.2 糾纏度量 147
4.2.3 一些常用的糾纏度量 149
4.3 量子通信與編碼 152
4.3.1 量子無噪聲編碼定理 152
4.3.2 可獲取信息與Holevo信息 156
*4.3.3 信道容量簡介 159
習題 164
參考文獻 169
索引 172
Index 175